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已知數列中，，設．
（Ⅰ）試寫出數列的前三項；
（Ⅱ）求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（Ⅲ）設的前項和為，求證：．

（Ⅰ），，；（Ⅱ）證明見試題解析，；（Ⅲ）證明見試題解析.

解析試題分析：（Ⅰ）由遞推公式求出，再利用可直接求出；（Ⅱ）要證數列是等比數列，可由數列的遞推關系建立起與的關系.
，從而證得數列是等比數列. 然后選求出，由可求出；（Ⅲ）本題最好是能求出，但由數列的通項公式可知不可求，結合結論是不等式形式可以用放縮法使得和可求，（等號只在時取得），然后求和，即可證得結論.
試題解析：（Ⅰ）由，得，.
由，可得，，.      3分
（Ⅱ）證明：因，故
.           5分
顯然，因此數列是以為首項，以2為公比的等比數列，即
.                        7分
解得.                                  8分
（Ⅲ）因為（當且僅當時取等號）       12分
故        14分
考點：(1)數列的項；(2)等比數列的定義；(3)放縮法.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知各項均為正數的數列滿足, 且,其中.
(1) 求數列的通項公式；
(2) 設數列滿足,是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由。
(3) 令,記數列的前項和為,其中,證明：。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數，
（1）若是常數，問當滿足什么條件時，函數有最大值，并求出取最大值時的值；
（2）是否存在實數對同時滿足條件：（甲）取最大值時的值與取最小值的值相同，（乙）？
（3）把滿足條件（甲）的實數對的集合記作A，設，求使的的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在等比數列中，，
（1）和公比；
（2）前6項的和．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知等差數列的首項，公差．且分別是等比數列的.
（1）求數列與的通項公式；
（2）設數列對任意自然數均有 成立，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列的首項其中，令集合.
（Ⅰ）若是數列中首次為1的項，請寫出所有這樣數列的前三項；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）當時，求集合中元素個數的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列中，，.
（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）記，求數列的前項和.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列是各項均不為0的等差數列，公差為，為其前n項和，且滿足,．數列滿足,， 為數列的前項和．
（1）求數列的通項公式；
（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有
的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列{an}，其前n項和為Sn．
（1）若對任意的n∈N，a2n﹣1，a2n+1，a2n組成公差為4的等差數列，且，求n的值；
（2）若數列{}是公比為q（q≠﹣1）的等比數列，a為常數，求證：數列{an}為等比數列的充要條件為

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