數(shù)列{an}中，已知a1=
5
6
，a2=
19
36
，且a2-
a1
3
，a3-
a2
3
，…，an+1-
an
3
是公比為
1
2
的等比數(shù)列．
（1）求證數(shù)列a2-
a1
2
，a3-
a2
2
，…，an+1-
an
2
是公比為
1
3
的等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列{an}的通項公式．
（3）問是否存在除
1
2
，
1
3
以外的實數(shù)k，使得數(shù)列{an+1-kan}成等比數(shù)列．
分析：（1）由題意可得：因為a1=
5
6
，a2=
19
36
，所以a2-
1
3
a1=
1
4
，根據(jù)題意可得：an+1-
an
3
=(
1
2
)n+1，進而達到
an+2-
an+1
2
an+1-
an
2
=
1
3
[(
1
2
)n+1-
1
6
an]
(
1
2
)n+1-
1
6
an
=
1
3
，即可證明結(jié)論．
（2）由（1）可得：
1
6
an=(
1
2
)n+1-(
1
3
)n+1，所以an=3•(
1
2
)n-2•(
1
3
)n．
（3）假設存在這樣的k，k≠
1
2
，
1
3
，可得an+1-kan=(
3
2
-3k)(
1
2
)n+(2k-
2
3
)(
1
3
)n，令an+2-kan+1=qan+1-qkan，即
(
3
2
-3k)
1
2
=q(
3
2
-3k)
(2k-
2
3
)
1
3
=q(2k-
2
3
)
解得：k=
1
2
或
1
3
，進而達到答案．
解答：解：（1）由題意可得：因為a1=
5
6
，a2=
19
36
，
所以a2-
1
3
a1=
1
4
，
又因為a2-
a1
3
，a3-
a2
3
，…，an+1-
an
3
是公比為
1
2
的等比數(shù)列，
所以an+1-
an
3
=(
1
2
)n+1
所以
an+2-
an+1
2
an+1-
an
2
=
(
1
2
)n+2-
1
6
an+1
(
1
2
)n+1-
1
6
an
=
1
2
[(
1
2
)n+1-
1
3
an+1]
(
1
2
)n+1-
1
6
an
=
1
2
[(
1
2
)n+1-
1
3
(
1
2
)n+1-
1
9
an]
(
1
2
)n+1-
1
6
an

=
1
3
[(
1
2
)n+1-
1
6
an]
(
1
2
)n+1-
1
6
an
=
1
3
，
所以數(shù)列a2-
a1
2
，a3-
a2
2
，…，an+1-
an
2
是公比為
1
3
的等比數(shù)列．
（2）由（1）可得：an+1-
1
2
an=(
1
3
)n+1，又因為an+1-
1
3
an=(
1
2
)n+1，
所以兩式相減得
1
6
an=(
1
2
)n+1-(
1
3
)n+1，
所以an=6[(
1
2
)n+1-(
1
3
)n+1]=3•(
1
2
)n-2•(
1
3
)n，
所以an=3•(
1
2
)n-2•(
1
3
)n．
（3）假設存在這樣的k，k≠
1
2
，
1
3

則有an+1-kan=3•(
1
2
)n+1-2•(
1
3
)n+1-3k(
1
2
)n+2k(
1
3
)n=(
3
2
-3k)(
1
2
)n+(2k-
2
3
)(
1
3
)n
所以(
3
2
-3k)(
1
2
)n+1+(2k-
2
3
)(
1
3
)n+1=q(
3
2
-3k)(
1
2
)n+q(2k-
2
3
)(
1
3
)n，
即 
(
3
2
-3k)
1
2
=q(
3
2
-3k)
(2k-
2
3
)
1
3
=q(2k-
2
3
)
解得：k=
1
2
或
1
3
，
所以不存在除
1
2
，
1
3
以外的實數(shù)k使得數(shù)列{an+1-kan}成等比數(shù)列．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的判定，此題屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文科）（1）若數(shù)列{an1}是數(shù)列{an}的子數(shù)列，試判斷n1與l的大小關系；
（2）①在數(shù)列{an}中，已知{an}是一個公差不為零的等差數(shù)列，a5=6．當a3=2時，若存在自然數(shù)n1，n2，…，nl，…滿足5＜n1＜n2＜…＜nl＜…且a3，a5，a7，a9…an…是等比數(shù)列，試用t表示n1；
②若存在自然數(shù)n1，n2，…，nl，…滿足5＜n1＜n2＜…＜nl＜…且a3，a5，a7，a9…an…構(gòu)成一個等比數(shù)列．求證：當a3是整數(shù)時，a3必為12的正約數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，已知點（an，an+1）（n∈N*）在函數(shù)y=2x的圖象上，且a2•5=8
（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求出其通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且bn=an+n，求Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=2，a2=3，當n≥2時，an+1是an•an-1的個位數(shù)，則a2011=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=2an+2（n∈N*）
（Ⅰ）求證：數(shù)列{an+2}是等比數(shù)列；
（Ⅱ） 求數(shù)列{an}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，則a2011=（　�。�

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