Question

已知函數(shù)f(x)=(

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2

)|x+m|+a，且f（x）為偶函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）若方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=(

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)|x+m|+a為偶函數(shù)，f（-x）=f（x）恒成立，令x=1，則f（-1）=f（1），由此得到關(guān)于m的方程，解方程可得m的值；
（2）若方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則函數(shù)y=-a與y=(

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2

)|x|有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=(

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2

)|x+m|+a為偶函數(shù)
∴f（-1）=f（1）
即(

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)|1+m|=(

1

2

)|-1+m|
∴|m+1|=|m-1|
∴m+1=m-1（舍去），或m+1=1-m
∴m=0
（2）由（1）得函數(shù)f(x)=(

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2

)|x|+a，
函數(shù)y=(

1

2

)|x|的圖象如下圖所示：

由圖可知：
當(dāng)-1＜a＜0，即0＜a＜1時(shí)，
y=-a與y=(

1

2

)|x|有兩個(gè)交點(diǎn)
∴-1＜a＜0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，函數(shù)的奇偶性的定義，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度不大．