Question

已知直線x=-1的方向向量為

a

及定點(diǎn)F（1，0），動(dòng)點(diǎn)M，N，G滿足

MN

-

a

=0，

MN

+

MF

=2

MG

，

MG

•（

MN

-

MF

）=0，其中點(diǎn)N在直線l上．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，若α+β=θ為定值（0＜θ＜π），試問(wèn)直線AB是否恒過(guò)定點(diǎn)，若AB恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若AB不恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件滿足的向量關(guān)系得到MN⊥l|MF|=|MN|，利用拋物線的定義判斷出M的軌跡是拋物線，根據(jù)拋物線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系寫(xiě)出拋物線的方程．
（2）設(shè)出直線AB的方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系，對(duì)θ分類討論，利用兩角和的正切公式及直線斜率的公式將α+β=θ轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，表示出直線方程中的截距b，得到直線方程恒過(guò)的定點(diǎn)．

解答：解：（1）由題意知：MN⊥l|MF|=|MN|，
由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，
其中F（1，0）為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線，
所以軌跡方程為y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁•x₂≠0，
所以AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，
顯然x1=

y 2 1

4

，x2=

y 2 2

4

，
聯(lián)立

y=kx+b y2=4x

，消去x得到：y2-

4

k

y+

4b

k

=0，
由根與系數(shù)關(guān)系得：

y1+y2= 4 k y1•y2= 4b k

①
1）當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，即α+β=

π

2

時(shí)，tanα•tanβ=1，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=1即x1x2-y1y2=0，

y 2 1 y 2 2

16

-

y

2 1

y

2 2

=0
所以y₁y₂=16，
由①知：

4b

k

=16，
所以b=4k因此直線AB的方程可表示為y=kx+4k，
∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，0）
2）當(dāng)θ≠

π

2

時(shí)，由α+β=θ，得tanθ=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

4(y1+y2)

y1y2-16

，
將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：tanθ=

4

b-4k

，所以b=

4

tanθ

+4k，
此時(shí)，直線AB的方程可表示為y=kx+

4

tanθ

+4k，
∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(-4，

4

tanθ

)
∴當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，0），
當(dāng)θ≠

π

2

時(shí)，．AB恒過(guò)定點(diǎn)(-4，

4

tanθ

)

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程問(wèn)題，一般利用待定系數(shù)法，注意橢圓中的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系與雙曲線中的三個(gè)參數(shù)關(guān)系的區(qū)別；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，一般將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找突破口．