Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-xlnx．?dāng)?shù)列{a_n}滿足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）．
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）是增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅲ）設(shè)b∈（a₁，1），整數(shù)．證明：a_k+1＞b．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令f′（x）=0，解出函數(shù)的極值點(diǎn)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，從而
進(jìn)行證明．
（2）由題意數(shù)列{a_n}滿足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），求出a_n+1=a_n-a_nlna_n，然后利用歸納法進(jìn)行證明；
（3）由題意f（x）=x-xlnx，a_n+1=f（a_n）可得a_k+1=a_k-b-a_k，然后進(jìn)行討論求解．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵f（x）=x-xlnx，
∴f′（x）=-lnx，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）=-lnx＞0
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)；

（Ⅱ）證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）
（i）當(dāng)n=1時(shí)，0＜a₁＜1，a₁lna₁＜0，
a₂=f（a₁）=a₁-a₁lna₁＞a₁，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）是增函數(shù)且函數(shù)f（x）在x=1處連續(xù)，
∴f（x）在區(qū)間（0，1]是增函數(shù)，
a₂=f（a₁）=a₁-a₁lna₁＜1，即a₁＜a₂＜1成立，
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)x=k（k∈N⁺）時(shí)，a_k＜a_k+1＜1成立，
即0＜a₁≤a_k＜a_k+1＜1，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，由f（x）在區(qū)間（0，1]是增函數(shù)，0＜a₁≤a_k＜a_k+1＜1，
得f（a_k）＜f（a_k+1）＜f（1），
而a_n+1=f（a_n），
則a_k+1=f（a_k），a_k+2=f（a_k+1），a_k+1＜a_k+2＜1，
也就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí)，a_n＜a_n+1＜1也成立，
根據(jù)（�。�、（ⅱ）可得對(duì)任意的正整數(shù)n，a_n＜a_n+1＜1恒成立．

（Ⅲ）證明：由f（x）=x-xlnx，a_n+1=f（a_n）可得
a_k+1=a_k-b-a_k=，
1）若存在某i≤k₂，滿足a_i≤b3，，則由（Ⅱ）知：a_k+1-b＜a_i-b≥04，
2）若對(duì)任意i≤k₆，都有a_i＞b，則a_k+1=a_k-b-a_klna_k==≥a₁-b₁-ka₁ln=0，
即a_k+1＞b成立．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程與不等式等基礎(chǔ)知識(shí)及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，一般出題者喜歡考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，要出學(xué)生會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想、有限與無(wú)限的思想來(lái)解決問題．