Question

已知命題P：函數(shù)f（x）=log_2m（x+1）是增函數(shù)，命題Q：?x∈R，x²+mx+1≥0，如果“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得命題P為真時m的取值范圍；利用△≤0求出命題Q為真時m的范圍，根據(jù)復(fù)合命題真值表知，若“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，則命題P、Q中有且僅有一個真命題，分P真Q假和Q真P假兩種情況求出m的范圍，再求并集．

解答：解：由函數(shù)f（x）=log_2m（x+1）是增函數(shù)，得2m＞1，
故命題P為真時，m＞

1

2

，
命題Q為真命題時，則△=m²-4≤0⇒-2≤m≤2，
由復(fù)合命題真值表知：若“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，則命題P、Q中有且僅有一個真命題，
當(dāng)P真Q假時，則

m＞ 1 2 m＞2或m＜-2

⇒m＞2，
當(dāng)Q真P假時，則

m≤ 1 2 -2≤m≤2

⇒-2≤m≤

1

2

，
綜上可知實(shí)數(shù)m的取值范圍：[-2，

1

2

]∪（2，+∞）．

點(diǎn)評：本題借助考查復(fù)合命題的真假判定，考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及一元二次不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是求出組成復(fù)合命題的簡單命題為真時m的取值范圍．