已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)，點(diǎn)P(b，
a
2
)在橢圓上，其左、右焦點(diǎn)為F1、F2．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若
PF1
•
PF2
=
1
2
，過點(diǎn)S(0，-
1
3
)的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)問在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
分析：（Ⅰ）利用橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)，點(diǎn)P(b，
a
2
)在橢圓上，建立方程，確定幾何量的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率；
（Ⅱ）先求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由特殊情況猜想M（0，1），進(jìn)而證明一般性的結(jié)論成立．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)，點(diǎn)P(b，
a
2
)在橢圓上，
∴
b2
a2
+
a2
4b2
=1，∴a2=2b2，∴c2=a2-b2=b2，
∴e=
c
a
=
2
2
；
（Ⅱ）∵
PF1
•
PF2
=
1
2

∴（-c-b，-
a
2
）•（c-b，-
a
2
）=
1
2

∴b2-c2+
a2
4
=
1
2

∴a=
2
，b=1
∴橢圓方程為
x2
2
+y2=1；
假設(shè)存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)．
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為：x2+y2=1①
當(dāng)AB⊥y軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為：x2+（y+
1
3
）2=
16
9
②
由①，②知定點(diǎn)M（0，1）
下證：以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)M（0，1）．
設(shè)直線l：y=kx-
1
3
，代入橢圓方程，消去y可得（2k2+1）x2-
4
3
kx-
16
9
=0
設(shè)A（x1，y1），B（（x2，y2），則x1+x2=
4k
3(2k2+1)
，x1x2=
-16
9(2k2+1)

∵
MA
=(x1，y1-1)，
MB
=(x2，y2-1)
∴
MA
•
MB
=x1x2+（y1-1）（y2-1）=（1+k2）x1x2-
4
3
k（x1+x2）+
16
9
=0
∴在x軸上存在定點(diǎn)M（0，1），使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)定點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查存在性問題，由特殊到一般是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：x2+
y2
m
=1的焦點(diǎn)在y軸上，且離心率為
3
2
．過點(diǎn)M（0，3）的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足
OA
+
OB
=λ
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|
PA
|-|
PB
|＜
3
時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)經(jīng)過 點(diǎn)B(0，
3
)，且離心率為
1
2
，右頂點(diǎn)為A，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2；橢圓C2以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，且以F1F2為短軸端，上頂點(diǎn)為D．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）若C1與C2交于M、N、P、Q四點(diǎn)，當(dāng)AD∥F2B時(shí)，求四邊形MNPQ的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(1， 
3
2
)，且經(jīng)過雙曲線y2-x2=1的頂點(diǎn)．P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左右焦點(diǎn)，
（1）求橢圓C的方程；
（2）求|PF1|•|PF2|的最大值和最小值．
（3）求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為
2
．
（1）（i）求橢圓C的方程；
（ii）類比結(jié)論“過圓
x
2
 
+
y
2
 
=r2上任一點(diǎn)（x0，y0）的切線方程是x0x+yy0=
r
2
 
”，歸納得出：過橢圓
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)上任一點(diǎn)（x0，y0）的切線方程是
x0x
a
2
 
+
y0y
b
2
 
=1
x0x
a
2
 
+
y0y
b
2
 
=1
；
（2）設(shè)M，N是直線x=2上的兩個(gè)點(diǎn)，若
F1M
•
F2M
=0，求|MN|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓c的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上（不是頂點(diǎn)），△PF1F2內(nèi)一點(diǎn)G滿足3
PG
=
PF1
+
PF2
，其中
OG
=(
1
9
a，
6
9
a)．
（I）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若橢圓C短軸長(zhǎng)為2
3
，過焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是左右頂點(diǎn)），若
AF2
=2
F2B
，求△F1AB面積．

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同步練習(xí)冊(cè)答案