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某商品每件成本5元，售價14元，每星期賣出75件.如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值（單位：元，）的平方成正比，已知商品單價降低1元時，一星期多賣出5件.
（1）將一星期的商品銷售利潤表示成的函數；
（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

（1）；（2）當即商品每件定價為9元時，可使一個星期的商品銷售利潤最大.

解析試題分析：（1）先寫出多賣的商品數，則可計算出商品在一個星期的獲利數，再依題意：“商品單價降低1元時，一星期多賣出5件”求出比例系數，即可得一個星期的商品銷售利潤表示成的函數；（2）根據（1）中得到的函數，利用導數研究其極值，也就是求出函數的極大值，從而得出定價為多少元時，能使一個星期的商品銷售利潤最大.
試題解析：（1）依題意，設，由已知有，從而
                      3分

              7分
（2）         9分
由得，由得或
可知函數在上遞減，在遞增，在上遞減        11分
從而函數取得最大值的可能位置為或是
，
當時，                     13分
答：商品每件定價為9元時，可使一個星期的商品銷售利潤最大      14分.
考點：1.函數模型及其應用；2.導數的實際應用.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導數為f′(x)，若函數y＝f′(x)
的圖象關于直線x＝－對稱，且f′(1)＝0.
①求實數a，b的值；②求函數f(x)的極值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數．
（1）求證：時，恒成立；
（2）當時，求的單調區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是減函數，在(0,1)上是增函數，函數f(x)在R上有三個零點，且1是其中一個零點．
(1)求b的值      (2)求f(2)的取值范圍

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x2－.
(1)求F(x)＝f(x)－g(x)的單調區(qū)間，并證明對[－1，1]上的任意x1，x2，x3，都有F(x1)＋F(x2)>F(x3)；
(2)將y＝f(x)的圖像向下平移a(a>0)個單位，同時將y＝g(x)的圖像向上平移b(b>0)個單位，使它們恰有四個交點，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知a>0，函數f(x)＝ax2－ln x.
(1)求f(x)的單調區(qū)間；
(2)當a＝時，證明：方程f(x)＝f 在區(qū)間(2，＋∞)上有唯一解．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；
(2)如果對于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f(x)＝ax＋x2，g(x)＝xln a，a>1.
(1)求證：函數F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
(2)若函數y＝－3有四個零點，求b的取值范圍；
(3)若對于任意的x1，x2∈[－1,1]時，都有|F(x2)－F(x1)|≤e2－2恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

(2013·重慶卷)設f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6)．
(1)確定a的值；
(2)求函數f(x)的單調區(qū)間與極值．

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