設(shè)一個(gè)正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為α，相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的角為β，那么兩個(gè)角α和β的三角函數(shù)間的關(guān)系是（　　）
A．2cos2α+3cosβ=1B．2cosα+3cos2β=1
C．3cos2α+2cosβ=1D．3cosα+2cos2β=1
設(shè)正三棱錐S-ABC，側(cè)面與底面所成的角為α，相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的角為β，作SD⊥BC，連接AD，作SH⊥AD，則SH⊥底面ABC，可得BE⊥SA，連接CE，則CE⊥SA，∠BEC是二側(cè)面成角的平面角，
設(shè)AB=BC=AC=1個(gè)單位，
AD=
3
2
，HD=
3
2
3
=
3
6
，AH=
3
3
，
SD
HD
=cosα，SD=
3
6cosα
，SH=
3?
tanα
6
，
SA=
SH2+AH2
=
tan2α
12
+
1
3
=
3tan2α+12
6
，
又BE×SA×
1
2
=SD×AB×
1
2
=S△SAB，
∴BE=
SD×AB
SA
=
3
6cosα
3tan2α+12
6
=
1
1+3cos2α

在三角形EBC中根據(jù)余弦定理，
BC2=BE2+EC2-2×BE×EC×cosβ，
1=
1
1+3cos2α
+
1
1+3cos2α
-2×
1
1+3cos2α
×cosβ，
經(jīng)整理得：3cos2α+2cosβ=1，
故選C
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，S是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且SD⊥面ABCD，AB=1，SB=
3
．
（1）求證：BC⊥SC；
（2）設(shè)M為棱SA中點(diǎn)，求異面直線DM與SB所成角的大小
（3）求面ASD與面BSC所成二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

把邊長為a的正△ABC沿高線AD折成60°的二面角，這時(shí)A到邊BC的距離是（　�。�
A．
15
4
a		B．
6
3
a		C．
13
4
a		D．
3
2
a

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，正三角形ABC按中線AD折疊，使得二面角B-AD-C的大小為60°，則∠BAC的余弦值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

三棱錐P-ABC的兩側(cè)面PAB，PBC都是邊長為2的正三角形，AC=
3
，則二面角A-PB-C的大小為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α、β所成的角分別為
π
4
和
π
6
，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB=12，求A′B′的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，ED=
1
2
AB，P是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D為AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在線段AC，BC上，且EF∥AB，EF交CD于G，把△ADC沿CD折起，如圖所示，

（1）求證：E1F∥平面A1BD；
（2）當(dāng)二面角A1-CD-B為直二面角時(shí)，是否存在點(diǎn)F，使得直線A1F與平面BCD所成的角為60°，若存在求CF的長，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是正方形，O是底面的中心，A′O=1，AB=AA′=A′D=A′B=
2
．
（1）證明：平面A′BD∥平面B′CD′；
（2）求二面角A-BC-B′的余弦值．

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