Question

已知函數(shù)f（x）=ln．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（II）判斷y=f（x）的圖象是否是中心對(duì)稱圖形，若是求出對(duì)稱中心并證明，否則說(shuō)明理由；
（III）設(shè)g（x）的定義域?yàn)镈，是否存在[a，b]⊆D．當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的取值范圍是[]，若存在，求實(shí)數(shù)a、b的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，列出表格判斷即可求出結(jié)果．
（II） 點(diǎn)（0，f（0）），（6，f（6））的中點(diǎn)是（3，），所以f（x）的圖象的對(duì)稱中心只可能是（3，）．方程（曲線）觀點(diǎn)要證f（x）的圖象關(guān)于（3，）對(duì)稱，只需證明點(diǎn)Q也在y=f（x）上，即證y=f（x）即可．
（III）假設(shè)存在實(shí)a、b且[a，b]⊆D，∴b＜2或a＞4．討論0≤b＜2，4＜a≤6，a＜b＜0或6＜a＜b，由g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（6，+∞），
推出f（x）的取值范圍是不可能是[]．因而滿足條件的實(shí)數(shù)a、b不存在．
解答：20．解：（I） ．注意到，即x∈（-∞，2）∪（4，+∞），
由得x=6或x=0．所以當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（0）=ln是f（x）的一個(gè)極大值，f（6）=ln2+ 是f（x）的一個(gè)極大值．．
（II） 點(diǎn)（0，f（0）），（6，f（6））的中點(diǎn)是（3，），所以f（x）的圖象的對(duì)稱中心只可能是（3，）．
方程（曲線）觀點(diǎn)要證f（x）的圖象關(guān)于（3，）對(duì)稱，只需證明點(diǎn)Q也在y=f（x）上，即證y=f（x）
設(shè)P（x，y）為f（x）的圖象上一點(diǎn)，P關(guān)于（3，）的對(duì)稱點(diǎn)是Q（x，y），
因，又
所以，
即點(diǎn)Q（x，y）也在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
 （III） 假設(shè)存在實(shí)a、b且[a，b]⊆D，∴b＜2或a＞4．
若0≤b＜2，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）≤f（0）=ln＜0，而∴．故不可能…
若4＜a≤6，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）≥f（6）=ln2+＞，而∴f（x）≠．故不可能…．
若a＜b＜0或6＜a＜b，由g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（6，+∞），知a，b是f（x）=的兩個(gè)解．而f（x）-=無(wú)解．故此時(shí)f的取值范f（x）圍是不可能是[]．
綜上所述，假設(shè)錯(cuò)誤，滿足條件的實(shí)數(shù)a、b不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，對(duì)稱性問(wèn)題的處理方法；注意題目中所應(yīng)用的函數(shù)的思想，分類討論的思想，函數(shù)的值域問(wèn)題，利用函數(shù)的單調(diào)性驗(yàn)證方程解的情況．