【題目】如圖,在四棱錐P—ABCD中,四邊形ABCD為菱形,△PAD為正三角形,且E為AD的中點(diǎn),BE⊥平面PAD.
(Ⅰ)求證:平面PBC⊥平面PEB;
(Ⅱ)求平面PEB與平面PDC所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析 ; (2).
【解析】
(Ⅰ)先證明BC⊥平面PEB,再證明平面PBC⊥平面PEB. (Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,利用向量法求平面PEB與平面PDC所成的銳二面角的余弦值.
(Ⅰ)∵BE⊥平面PAD,又AD平面PAD,∴AD⊥BE,
又∵△PAD為正三角形,E為AD的中點(diǎn),∴AD⊥PE,
又∵PE∩BE=E,∴AD⊥平面PEB,ABCD為菱形,∴,∴BC⊥平面PEB,
又BC平面PBC,∴平面PBC⊥平面PEB.
(Ⅱ)如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,
設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則AE=ED=1,PE=EB=,
C(-2,0),D(-1,0,0),P(0,0,),
.
設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為,
由,得,取y=1,得,
又平面PEB的一個(gè)法向量為.
,∴平面PEB與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),且.若對(duì)任意的,,都有.
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;
(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;.
(3)若不等式對(duì)任意和都恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地空氣中出現(xiàn)污染,須噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理.據(jù)測(cè)算,每噴灑1個(gè)單位的去污劑,空氣中釋放的濃度y(單位:毫克/立方米)隨著時(shí)間x(單位:天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,若多次噴灑,則某一時(shí)刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知,當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí),它才能起到去污作用.
(Ⅰ)若一次噴灑4個(gè)單位的去污劑,則去污時(shí)間可達(dá)幾天?
(Ⅱ)若第一次噴灑2個(gè)單位的去污劑,6天后再噴灑 個(gè)單位的去污劑,要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效去污,試求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】世紀(jì)年代,里克特(C.F.Richter)制定了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí),地震能量越大,測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí),其計(jì)算公式為:,其中,是被測(cè)地震的最大振幅,是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差).(以下數(shù)據(jù)供參考:,,)
(1)根據(jù)中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)測(cè)定,年月日時(shí)分,新疆巴音郭楞蒙古自治州若羌縣發(fā)生地震,一個(gè)距離震中千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是,計(jì)算這次地震的震級(jí)(精確到);
(2)年月日時(shí)分秒在我國(guó)四川省汶川地區(qū)發(fā)生特大地震,根據(jù)中華人民共和國(guó)地震局的數(shù)據(jù),此次地震的里氏震級(jí)達(dá),地震烈度達(dá)到度.此次地震的地震波已確認(rèn)共環(huán)繞了地球圈.地震波及大半個(gè)中國(guó)及亞洲多個(gè)國(guó)家和地區(qū),北至遼寧,東至上海,南至香港、澳門(mén)、泰國(guó)、越南,西至巴基斯坦均有震感.請(qǐng)計(jì)算汶川地震的最大振幅是級(jí)地震的最大振幅的多少倍?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)y=sin2x-cos2x的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位以后得到的圖象與函數(shù)y=ksinxcosx(k>0)的圖象關(guān)于(,0)對(duì)稱,則k+m的最小正值是
A. 2+ B. 2+ C. 2+ D. 2+
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2-x.
(Ⅰ)討論f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)+x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,求證:g(x2)>-ln2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在區(qū)間,上同時(shí)存在函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)如果對(duì)任意、,有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知圓錐的頂點(diǎn)為P,母線長(zhǎng)為4,底面圓心為O,半徑為2.
(1)求這個(gè)圓錐的體積;
(2)設(shè)OA,OB是底面半徑,且∠AOB=90°,M為線段AB的中點(diǎn),求異面直線PM與OB所成角的正切值.
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