Question

已知f（x）是偶函數(shù)，f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，且f（2a²-3a+2）＜f（a²-5a+9），現(xiàn)知適合條件的a的集合是不等式2a²+（m-4）a+n-m+3＞0的解集，求m和n的值．

Answer 1

解：∵f（x）是偶函數(shù)，f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
又2a²-3a+2＞0，a²-5a+9＞0恒成立
∴2a²-3a+2＞a²-5a+9
即a²+2a-7＞0
又∵適合條件的a的集合是不等式2a²+（m-4）a+n-m+3＞0的解集，
∴m-4=4，n-m+3=-14
解得m=8，n=-9
分析：由已知中（x）是偶函數(shù)，f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，我們可以得到f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，然后可將f（2a²-3a+2）＜f（a²-5a+9），轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于a的一元二次不等式，結(jié)合適合條件的a的集合是不等式2a²+（m-4）a+n-m+3＞0的解集，我們可構(gòu)造出關(guān)于m，n的方程組，解方程組即可得到m和n的值．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，其中根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性及已知中f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，判斷出f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．