Question

若二面角α-L-β的大小為

π

3

，此二面角的張口內(nèi)有一點(diǎn)P到α、β的距離分別為1和2，則P點(diǎn)到棱l的距離是（　�。�

• A、

  2 21

  3

• B、2
• C、2

  7

• D、2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：計(jì)算題,空間角

分析：設(shè)過P，C，D的平面與l交于Q點(diǎn)，可以證出l⊥面PCQD于Q，∠DQC是二面角α-l-β的平面角，PQ是P到l的距離．且PQ是△PDC的外接圓的直徑，在△PCD中利用余弦定理求出CD，最后根據(jù)正弦定理可求出PQ，從而求出點(diǎn)P到直線l的距離．

解答： 解：設(shè)過P，C，D的平面與l交于Q點(diǎn)． 　　
由于PC⊥平面α，l?平面M，則PC⊥l，
同理，有PD⊥l，∵PC∩PD=P，
∴l(xiāng)⊥面PCQD于Q．
又 DQ，CQ，PQ?平面PCQD
∴DQ⊥l，CQ⊥l．
∴∠DQC是二面角α-l-β的平面角．
∴∠DQC=60°
且PQ⊥l，所以PQ是P到l的距離．
在平面圖形PCQD中，有∠PDQ=∠PCQ=90°
∴P、C、Q、D四點(diǎn)共圓，也為△PDC的外接圓，且PQ是此圓的直徑．
在△PCD中，∵PC=1，PD=2，∠CPD=180°-60°=120°，
由余弦定理得 CD²=1+4-2×1×2×（-

1

2

）=3，CD=

3

在△PDC 中，根據(jù)正弦定理

CD

sin∠CPD

=2R=PQ，代入數(shù)據(jù)得出PQ=2
∴點(diǎn)P到直線l的距離為2
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二面角的定義、大小度量，解三角形的知識(shí)．分析得出PQ是P到l的距離，且利用正弦定理求出是關(guān)鍵．