分析 (1)求出函數f(x)的導數,解關于導函數的不等式,求出函數的單調區(qū)間即可;
(2)求出函數的導數,通過討論a的范圍,判斷函數的單調性,從而求出函數的最值,得到函數在閉區(qū)間的值域即可;
(3)求出切線方程,聯(lián)立方程組得到$m(x)=lnx-1+\frac{1}{x}-\frac{1}{e}$,根據函數的單調性求出m(x)的范圍,從而證明結論.
解答 解:(1)當a=1時,f(x)=lnx-x+1,定義域為(0,+∞),$f'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$.
令f'(x)>0,得增區(qū)間為(0,1);令f'(x)<0,得減區(qū)間為(1,+∞).…(2分)
(2)$f'(x)=\frac{1-ax}{x}$.
當$a≤\frac{1}{e}$時,f'(x)≥0,f(x)在[1,e]上為增函數,故f(1)≤f(x)≤f(e),
從而f(x)的值域為[0,1+a-ae];
當a≥1時,f'(x)≤0,f(x)在[1,e]上為減函數,故f(e)≤f(x)≤f(1),
從而f(x)的值域為[1+a-ae,0];
當$\frac{1}{e}<a<1$時,$x∈(1,\frac{1}{a})$時f'(x)>0,f(x)遞增;$x∈(\frac{1}{a},e)$時f'(x)<0,f(x)遞減
故f(x)的最大值為$f(\frac{1}{a})=-lna-1+a$;最小值為f(1)與f(e)中更小的一個,
當$\frac{1}{e}<a≤\frac{1}{e-1}$時f(e)≥f(1),最小值為f(1)=0;
當$\frac{1}{e-1}<a<1$時,f(e)<f(1),最小值為f(e)=1+a-ae.
綜上所述,當$a≤\frac{1}{e}$時,值域為[0,1+a-ae];
當$\frac{1}{e}<a≤\frac{1}{e-1}$時,值域為[0,-lna-1+a];
當$\frac{1}{e-1}<a<1$時,值域為[1+a-ae,-lna-1+a];
當a≥1時,值域為[1+a-ae,0]. …(8分)
(3)設切線l2對應切點為$({x_0},{e^{x_0}})$,切線方程為$y-{e^{x_0}}={e^{x_0}}(x-{x_0})$,
將(0,0)代入,解得x0=1,${k_2}={e^{x_0}}=e$,從而${k_1}=\frac{1}{e}$.
設l1與曲線y=f(x)的切點為(x1,lnx1-a(x1-1)),${k_1}=\frac{1}{x_1}-a=\frac{1}{e}$,得$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$①
切線l1方程為$y-ln{x_1}+a({x_1}-1)=\frac{1}{e}(x-{x_1})$,將(0,0)代入,得$ln{x_1}-a({x_1}-1)=\frac{x_1}{e}$②
將①代入②,得$ln{x_1}-1+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}=0$.
令$m(x)=lnx-1+\frac{1}{x}-\frac{1}{e}$,則$m'(x)=\frac{x-1}{x^2}$,m(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增.
若x1∈(0,1),由$m(\frac{1}{e})=-2+e-\frac{1}{e}>0$,$m(1)=-\frac{1}{e}<0$,則${x_1}∈(\frac{1}{e},1)$.
而$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$在$(\frac{1}{e},1)$上單調遞減,故$\frac{e-1}{e}<a<\frac{{{e^2}-1}}{e}$;
若x1∈(1,+∞),因m(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調增,且m(e)=0,
所以$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}=0$,與題設a>0矛盾,故不可能.
綜上所述,$\frac{e-1}{e}<a<\frac{{{e^2}-1}}{e}$.…(16分)
點評 本題考查了切線方程問題,考查函數的單調性、最值問題,考查導數的應用以及不等式的證明,考查分類討論思想、轉化思想,是一道綜合題.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
生二胎 | 不生二胎 | 合計 | |
25~35歲 | 45 | 10 | 55 |
35~50歲 | 30 | 15 | 45 |
合計 | 75 | 25 | 100 |
P(K2>k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
k | 2.072 | 2.076 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 充分而不必要條件 | B. | 必要而不充分條件 | ||
C. | 充分必要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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A. | [1,+∞) | B. | (1,+∞) | C. | (0,1] | D. | ($\frac{2}{3}$,1] |
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