Question

已知二次函數f（x）=x²-2（m-1）x-2m+m²，
（1）如果它的圖象經過原點，求m的值；
（2）如果它的圖象關于y軸對稱，寫出該函數的解析式；
（3）是否存在實數m，對x∈[1，3]上的每一個x值，都有f（x）≥3成立，若存在，求出m的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點（0，0）代入即可得到答案．
（2）關于y軸對稱知一元二次函數的對稱軸為y軸，所以m-1=0可得答案．
（3）只要f（x）在x∈[1，3]上的最小值大于等于3就可以滿足條件．轉化為求二次函數在區(qū)間[1，3]的最小值問題．
解答：解：（1）過原點（0，0）0=-2m+m²∴m=0或2；
（2）由題意知，二次函數的對稱軸為y軸，∴m-1=0∴m=1
函數解析式為：f（x）=x²-1．
（3）f（x）=[x-（m-1）]²-1
對稱軸x=m-1
1°當m-1＜1即m＜2時，f（x）在[1，3]上遞增，x=1時f（x）最小，f（1）=（2-m）²-1≥3∴m≥4或m≤0∴m≤0
2°：當1≤m-1≤3，即2≤m≤4，f（x）=[x-（m-1）]²-1，最小值為-1，-1≥3不成立
3°：m-1＞3即m＞4時f（x）在[1，3]上遞減，x=3時最小    f（3）=（4-m）²-1≥3∴m≤2或m≥6
由以上可知：m≤0或m≥6．
點評：本題主要考查一元二次函數的圖象、解析式和最值．一元二次函數是高考中必考內容，對其滿足的性質要熟練掌握．