Question

已知M（2，3）、N（2，-3）兩點(diǎn)在以F（2，0）為右焦點(diǎn)的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，斜率為1的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B（A，B在直線MN的兩側(cè)）．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求四邊形ANBM面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)求出焦距，利用橢圓的定義求出a，然后求解b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出|x_A-x_B|，然后求四邊形ANBM面積的表達(dá)式，即可求解面積的最大值．

解答： （本小題滿分15分）
解：（I）∵右焦點(diǎn)為F（2，0）∴左焦點(diǎn)為F′（-2，0）…．（1分）
∴2a=|MF′|+|MF|=8a=4…．（4分）
即：a²=16，b²=a²-c²=12…．（6分）
∴橢圓C的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1…．（7分）
（II）設(shè)l：y=x+m，聯(lián)立

x2 16 + y2 12 =1 y=x+m

可得：7x²+8mx+4m²-48=0…．（9分）
x_A+x_B=

-8m

7

    x_A•x_B=

4m2-48

7

∴|xA-xB|=

(xA+xB)2-4xA•xB

=

48(28-m2)

7

…．（11分）
∴四邊形ANBM的面積S=

1

2

|xA-xB|•|MN|=

3 48(28-m2)

7

即：S≤

24 21

7

…．（13分）
∵等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，驗(yàn)證m=0交點(diǎn)在直線MN兩側(cè)成立  …．（14分）
∴面積的最大值為

24 21

7

…．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的方程的求法，韋達(dá)定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．