(本題滿分14分)數(shù)列{an}滿足:a1=, 前n項(xiàng)和Sn=,
(1)寫出a2, a3, a4;(2)猜出an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(1)a2=;a3=;a4=
(2)an=
(1)根據(jù)an與Sn的關(guān)系,分別令n=2,3,4易求a2, a3, a4
(2)根據(jù)前四項(xiàng),可以猜想出an的表達(dá)式,由于問題是與正整數(shù)n有關(guān),因而可以考慮采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.在用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí),分兩個(gè)步驟:一是驗(yàn)證n=1,等式成立;
二是先假設(shè)n=k時(shí),等式成立;然后再證明n=k+1時(shí),等式也成立,再證明時(shí)一定要用上n=k時(shí)的歸納假設(shè),否則證明無效.
解:(1)令n="2," 得S2=, 即a1+a2=3a2 , 解得a2=.    ……………1分
令n="3," 得S3=,即a1+a2+a3=6a3, 解得a3=.      ……………1分
令n=4,得S4=,即a1+a2+a3+a4=10a4, 解得a4=.  ……………1分
(2)由(1)的結(jié)果猜想an=, 下面用數(shù)學(xué)歸納法給予證明:……………1分
①當(dāng)n=1時(shí),a1=,結(jié)論成立.                       ……………1分
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即ak=,                   ……………1分
則當(dāng)n=k+1時(shí),Sk=,       (1)                      ……………1分
Sk+1=,               (2)                      ……………1分
(2)-(1)得ak+1=-,                    ……………2分
整理得ak+1===,3分
即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
由①、②知對于n∈N+,上述結(jié)論都成立.                            ……………1分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)是等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和,,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(     )
A.B.
C.D.均為的最大值

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分12分)已知數(shù)列滿足.
(1)若,求;
(2)試探求的值,使得數(shù)列成等差數(shù)列.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

.(本小題滿分12分) 在公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列中,已知,; 
(Ⅰ)的公差的公比;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分10分)
已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知(n∈N*).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,若存在整數(shù),使對任意n∈N*且n ≥2,都有成立,求的最大值;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

為等差數(shù)列,是其前n項(xiàng)和,且,則的值為(    ) 
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,則數(shù)列前10項(xiàng)的和等于  (    )
A.511B.512C.1023D.1033

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)Sn是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知,,則等于(  )
A.13B.35C.49D.63

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案