Question

設(shè)x1，x2(x1＜x2)是函數(shù)f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-(2b2+1)ax，(a＞0)的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（1）若x₁=-2，x₂=1，求a，b的值；
（2）若x₁≤x≤x₂，且x₂=a，不等式6f（x）+11a²≥0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若x₁²+x₂²=6+4b²，且b＞0，設(shè)an=

4a

f′(n)+2a(b2+1)

，T_n為數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和，求證：T_n＜4．

Answer 1

分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a，利用條件把x₁=-2，x₂=1轉(zhuǎn)化為方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的兩根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求a，b的值；
（2）先利用其導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a以及a＞0得f（x）在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，故有x₁≤x≤x₂時(shí)，f（x）≥f（x₂）=f（a）；不等式6f（x）+11a²≥0恒成立?6f（a）+11a²≥0①，再利用f'（a）=a³+ba-（2b²+1）a=0即a²=2b²-b+1②，①②相結(jié)合即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）先利用x₁，x₂是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的兩根以及x₁²+x₂²=6+4b²得b²=4a²，進(jìn)而得b=2a，代入得an=

4a

f′(n)+2a(b2+1)

=

4a

an2+2an-(8a3+a)+8a3+2a

=

4

n2+2n+1

=

4

(n+1)2

＜

4

n(n+1)

=4(

1

n

-

1

n+1

)即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-(2b2+1)ax，(a＞0)
∴f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a（2分）
依題意x₁=-2，x₂=1是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的兩根
則-

b

a

=-1，-

(2b2+1)a

a

=-2
解之可得：a=b=

2

2

（4分）
（2）由（1）f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a＞0得x＞x₁或x＜x₂
∴f（x）在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減
∴x₁≤x≤x₂時(shí)，f（x）≥f（x₂）=f（a）（5分）
由題f'（a）=a³+ba-（2b²+1）a=0即a²=2b²-b+1（6分）
若x₁≤x≤x₂，且x₂=a，不等式6f（x）+11a²≥0恒成立?6f（a）+11a²≥0（7分）
?2a⁴+3ba²-6（2b²+1）a²+11a²≥0?2a²+3b-12b²+5≥0?2（2b²-b+1）+3b-12b²+5≥0?8b²-b-7≤0?-

7

8

≤b≤1
故實(shí)數(shù)b的取值范圍為[-

7

8

，1]（9分）
（3）依題意x₁，x₂是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的兩根，則x1+x2=-

b

a

，x1x2=-

(2b2+1)a

a

而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
∴(-

b

a

)2+2

(2b2+1)a

a

=6+4b2∴b²=4a²（10分）
又a＞0，b＞0，
∴b=2a而f'（n）=an²+bn-（2b²+1）a=an²+2an-（8a³+a）
∴an=

4a

f′(n)+2a(b2+1)

=

4a

an2+2an-(8a3+a)+8a3+2a

=

4

n2+2n+1

（11分）

Tn= 4 22 + 4 32 + 4 42 ++ 4 (n-1)2 + 4 n2 + 4 (n+1)2 ＜4[ 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 ++ 1 (n-2)(n-1) + 1 (n-1)n + 1 n(n+1) ] =4[(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+( 1 3 - 1 4 )++( 1 n-2 - 1 n-1 )+( 1 n-1 - 1 n )+( 1 n - 1 n+1 )] =4(1- 1 n+1 )＜4(14分)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用和數(shù)列的求和問(wèn)題，是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于難題．