Question

已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）有極大值32，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若對(duì)?x∈[-2，1]，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出此時(shí)x的值，因?yàn)楹瘮?shù)有極大值32，把求得的x值代入函數(shù)解析式f（x）中求出函數(shù)值，讓函數(shù)值等于32列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）根據(jù)（1）求出的導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)x的值，分a大于0和a小于0，在閉區(qū)間[-2，1]上，分區(qū)間判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性分別得到函數(shù)f（x）的最大值，讓f（x）的最大值小于分別列出關(guān)于a的不等式，分別求出不等式的解集即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍，求出的a的范圍的并集即可得到所有滿足題意的a的范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴．
令f′（x）=0，解得，
∴或x=2．
∵f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有極大值32，又f（2）=0．
∴f（x）在時(shí)取得極大值，
∴．
（2）由知：
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．
此時(shí)，．
又對(duì)?x∈[-2，1]，不等式恒成立．
∴得，
∴．
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，
此時(shí)，y_max=f（-2）=-32a．
又對(duì)?x∈[-2，1]，不等式恒成立．
∴得，
∴．
故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握函數(shù)恒成立時(shí)所滿足的條件，是一道綜合題．