Question

已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：，且
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）已知圓W： 的切線(xiàn)與軌跡相交于P，Q兩點(diǎn)，求證：以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

Answer 1

（1）；（2）證明詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）針對(duì)點(diǎn)的位置：點(diǎn)在線(xiàn)段上、點(diǎn)在軸上且在線(xiàn)段外、點(diǎn)不在軸上進(jìn)行分類(lèi)確定點(diǎn)的軌跡，前兩種只須簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)即可，當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，在中，應(yīng)用余弦定理得，化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)在以為兩焦點(diǎn)的橢圓上，由橢圓的相關(guān)參數(shù)即可寫(xiě)出橢圓的方程，最后綜合各種情況寫(xiě)出所求軌跡的方程；（2）先驗(yàn)證直線(xiàn)斜率不存在與斜率為0的情形，然后再證明直線(xiàn)斜率存在且不為0的情況，此時(shí)先設(shè)直線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)與軌跡的方程，消去得到，進(jìn)而求出及，得到，利用直線(xiàn)與圓相切得到，代入式子中，即可得到，從而問(wèn)題得證.
試題解析：（1）①當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)
不存在或，均不滿(mǎn)足題目條件                      1分
②當(dāng)點(diǎn)在軸上且在線(xiàn)段外時(shí)，
，設(shè)
由可得∴∴      3分
③當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，
在中，由余弦定理得


，即動(dòng)點(diǎn)在以為兩焦點(diǎn)的橢圓上
方程為：（）
綜和①②③可知：動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：              6分
（2）①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)
∵直線(xiàn)與圓相切，故切線(xiàn)方程為或
切線(xiàn)方程與聯(lián)立方程組
可求得為或為
則以為直徑的圓的方程為，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)
②當(dāng)直線(xiàn)的斜率為零時(shí)
與①類(lèi)似，
可求得以為直徑的圓的方程為，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)          10分
③當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在且不為零時(shí)設(shè)直線(xiàn)的方程為
由消去得
設(shè)，則
∴
∴①
∵直線(xiàn)和圓相切
∴圓心到直線(xiàn)的距離，整理得②
將②式代入①式，得，顯然以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)
綜上可知，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)                  14分.