Question

19．已知拋物線x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)$P（t，\frac{7}{8}）$到拋物線焦點(diǎn)的距離為1，直線3x-2y+1=0與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．M為拋物線上的點(diǎn)（異于原點(diǎn)），且MA⊥MB．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求△MAB面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由已知結(jié)合拋物線定義求得p；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的p值可得拋物線方程，聯(lián)立直線與拋物線可得A，B的坐標(biāo)，再結(jié)合MA⊥MB求得M的坐標(biāo)，求出|AB|，由得到直線的距離公式求出M到AB的距離，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，$\frac{7}{8}+\frac{p}{2}=1$，即$p=\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得拋物線方程為${x}^{2}=\frac{1}{2}y$，
 聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y+1=0}\\{{x}^{2}=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$，解得A（1，2），$B（-\frac{1}{4}，\frac{1}{8}）$．
設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀），由MA⊥MB，得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，
即$（{x_0}-1）（{x_0}+\frac{1}{4}）+（{y_0}-2）（{y_0}-\frac{1}{8}）=0$，
將${y}_{0}=2{{x}_{0}}^{2}$代入上式得，$（{x_0}-1）（{x_0}+\frac{1}{4}）+4（{x_0}-1）（{x_0}+1）（{x_0}+\frac{1}{4}）（{x_0}-\frac{1}{4}）=0$，
又x₀≠1且${x_0}≠-\frac{1}{4}$，得$1+4（{x_0}+1）（{x_0}-\frac{1}{4}）=0$，
解得x₀=0或${x_0}=-\frac{3}{4}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）（舍去）或$（-\frac{3}{4}，\frac{9}{8}）$．
在△MAB中，|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）^{2}+（2-\frac{1}{8}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{8}$．
M到直線3x-2y+1=0的距離d=$\frac{|3×（-\frac{3}{4}）-2×\frac{9}{8}+1|}{\sqrt{13}}$=$\frac{7}{2\sqrt{13}}$．
∴△MAB的面積S=$\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{13}}{8}×\frac{7}{2\sqrt{13}}$=$\frac{35}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．