Question

已知函數(shù)f（x）=|x|•（x-a）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為m（a），求m（a）的表達(dá)式；
（3）若a=4，證明：方程f（x）+=0有兩個不同的正數(shù)解．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=0時，f（x）是奇函數(shù)；a≠0時，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（2）當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=x²-ax=（x-）²-，函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為直線x=，利用a的不同取值進(jìn)行分類討論，能求出m（a）．
（3）若a=4，則x＞0時，f（x）=，方程可化為．令，h（x）=-x²+4x，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x），h（x）在x＞0時的圖象，數(shù)形結(jié)合能證明方程f（x）+=0有兩個不同的正數(shù)解．
解答：解：（1）∵f（x）=|x|•（x-a）．
∴a=0時，f（x）=|x|x是奇函數(shù)；…（2分）
a≠0時，f（x）=|x|•（x-a）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．…（2分）
（2）當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=x²-ax=（x-）²-，
函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為直線x=．…（1分）
當(dāng)，即a＜0時，函數(shù)f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，
所以m（a）=f（0）=0；（1分）
當(dāng)0，即0≤a≤4時，函數(shù)f（x）在[0，]上是減函數(shù)，在[，2]上是增函數(shù)，
所以m（a）=f（）=-；…（1分）
當(dāng)，即a＞4時，函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，
所以m（a）=f（2）=4-2a．…（1分）
綜上，m（a）=．…（2分）
（3）證明：若a=4，則x＞0時，f（x）=，方程可化為，
即．…（2分）
令，h（x）=-x²+4x，
在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x），h（x）在x＞0時的圖象．…（2分）
因為g（2）=2，h（2）=4，所以h（2）＞g（2），
即當(dāng)x=2時，
函數(shù)h（x）圖象上的點在函數(shù)g（x）圖象點的上方．…（3分）
所以函數(shù)g（x）與h（x）的圖象在第一象限有兩個不同交點．
即方程f（x）+=0有兩個不同的正數(shù)解．…（1分）
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查函數(shù)最小值的求法，證明方程有兩個不同的正數(shù)解．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論法和數(shù)形結(jié)合思想的靈活運用．