（2012•普陀區(qū)一模）設(shè)點F是拋物線L：y2=4x的焦點，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）是拋物線L上的n個不同的點n（n≥3，n∈N*）
（1）若拋物線L上三點P1、P2、P3的橫坐標(biāo)之和等于4，求|
FP1
|+|
FP2
|+|
FP3
|的值；
（2）當(dāng)n≥3時，若
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
，求證：|
FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|   =2n；
（3）若將題設(shè)中的拋物線方程y2=4x推廣為y2=2px（p＞0），請類比小題（2），寫出一個一般化的命題及其逆命題，并判斷其逆命題的真假．若是真命題，請予以證明；若是假命題，請說明理由．
分析：（1）拋物線l的焦點為F（1，0），設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），利用拋物線的定義，結(jié)合x1+x2+x3=4，可得結(jié)論；
（2）設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分別過P1、P2、P3，…，Pn作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用拋物線的定義可得x1+x2+x3+…+xn=n，從而可證
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=2n
（3）當(dāng)n≥3時，若
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
，求證：|
FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=np；
逆命題：當(dāng)n≥3時，“若|
FP1
|+| 
FP2
|+…+|  
FPN
|=np，則
FP1
+
FP2
+…+
FPN
=
0
”
取n=4時，拋物線l的焦點為F（
p
2
，0），設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分別過P1、P2、P3，P4作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，Q4，利用拋物線的定義，可得x1+x2+x3+x4=2p，從而可得結(jié)論．
解答：解：（1）拋物線l的焦點為F（1，0），設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），
分別過P1、P2、P3作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，
∴|
FP1
|+|
FP2
|+|
FP3
|=（x1+
p
2
）+（x2+
p
2
）+（x3+
p
2
）=x1+x2+x3+3
∵x1+x2+x3=4，∴|
FP1
|+|
FP2
|+|
FP3
|=7
（2）設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分別過P1、P2、P3，…，Pn作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，…，Qn
∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+…+（xn+1）=x1+x2+x3+…+xn+n
∵
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
           
∴x1+x2+x3+…+xn=n
∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=n+n=2n
（3）當(dāng)n≥3時，若
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
，求證：|
FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=np；
逆命題：當(dāng)n≥3時，“若|
FP1
|+| 
FP2
|+…+|  
FPN
|=np，則
FP1
+
FP2
+…+
FPN
=
0
”
設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分別過P1、P2、P3，…，Pn作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，…，Qn
∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=（x1+
p
2
）+（x2+
p
2
）+（x3+
p
2
）+…+（xn+
p
2
）=x1+x2+x3+…+xn+
np
2

∵
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
           
∴x1+x2+x3+…+xn=
np
2

∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=
np
2
+
np
2
=np
逆命題為假命題：取n=4時，拋物線l的焦點為F（
p
2
，0），設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分別過P1、P2、P3，P4作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，Q4，
∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FP4
|=x1+x2+x3+x4+2p=4p
∴x1+x2+x3+x4=2p
不妨取P1(
p
4
，
2
p
2
)，P2(
p
2
，p)，P3(
p
2
，-p)，P4(
3p
4
，
6
p
2
)，則
FP1
+
FP2
+…+
FP4
≠
0

故P1(
p
4
，
2
p
2
)，P2(
p
2
，p)，P3(
p
2
，-p)，P4(
3p
4
，
6
p
2
)是一個當(dāng)n=4時，該逆命題的一個反例．
點評：本題考查拋物線的定義，考查向量的運算，解題的關(guān)鍵是正確運用拋物線的定義，難度較大．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•普陀區(qū)一模）
e
1，
e
2是兩個不共線的向量，已知
AB
=2
e
1+k
e
2，
CB
=
e
1+3
e
2
CD
=2
e
1-
e
2，且A，B，D三點共線，則實數(shù)k=
-8
-8
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•普陀區(qū)一模）設(shè)全集為R，集M={x|
x2
4
+y2=1}，N={x|
x-3
x+1
≤0}，則集合{x|(x+
3
2
)2+y2=
1
4
}可表示為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•普陀區(qū)一模）已知數(shù)列{an}是首項為2的等比數(shù)列，且滿足an+1=pan+2n(n∈N*)
（1）求常數(shù)p的值和數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、…第3n-2項，…，余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列{bn}，試寫出數(shù)列
{bn}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，是否存在正整數(shù)n，使得
Tn+1
Tn
=
11
3
？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)n的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•普陀區(qū)一模）對于平面α、β、γ和直線a、b、m、n，下列命題中真命題是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•普陀區(qū)一模）函數(shù)y=
1
log
1
2
|x-1|
的定義域是
（0，1）∪（1，2）
（0，1）∪（1，2）
．

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