分析:(1)由題意可得,創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,4的所有數(shù)列{c
n}有兩,即3,4,1,2和3,4,2,1.
(2)設(shè)數(shù)列{c
n}的創(chuàng)新數(shù)列為{e
n},因?yàn)閑
m為前m個(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè),所以e
m=m,經(jīng)檢驗(yàn),只有公比q=1時(shí),數(shù)列{c
n}才有唯一的一個(gè)創(chuàng)新數(shù)列.
(3)設(shè)存在數(shù)列{c
n},使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列,當(dāng)d=0時(shí),{e
m}為常數(shù)列,滿足條件;數(shù)列{c
n}是首項(xiàng)為m的任意一個(gè)排列,共有
個(gè)數(shù)列.當(dāng)d=1時(shí),符合條件的數(shù)列{e
m}只能是1,2,3…m,此時(shí)數(shù)列{c
n}是1,2,3…m,有1個(gè).d≥2時(shí),{e
m} 不存在.由此得出結(jié)論.
解答:解:(1)由題意可得,創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,4的所有數(shù)列{c
n}有兩個(gè),即3,4,1,2和3,4,2,1. (4分)
(2)存在數(shù)列{c
n}的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列.…(5分)
設(shè)數(shù)列{c
n}的創(chuàng)新數(shù)列為{e
n},因?yàn)閑
m為前m個(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè),所以e
m=m. …(6分)
若{e
m}為等比數(shù)列,設(shè)公比為q,因?yàn)?e
k+1≥e
k (k=1,2,3…m-1),所以q≥1.…(7分)
當(dāng)q=1時(shí),{e
m}為常數(shù)列滿足條件,即為數(shù)列為常數(shù)數(shù)列,每一項(xiàng)都等于m. …(9分)
當(dāng)q>1時(shí),{e
m}為增數(shù)列,符合條件的數(shù)列只能是1,2,3…m,又1,2,3…m不滿足等比數(shù)列,綜上符合條件的創(chuàng)新數(shù)列只有一個(gè). …(10分)
(3)設(shè)存在數(shù)列{c
n},使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列,…(11分)
設(shè)數(shù)列{c
n}的創(chuàng)新數(shù)列為{e
m},因?yàn)閑
m為前m個(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè),所以e
m=m.若 {e
m}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,
因?yàn)?e
k+1≥e
k (k=1,2,3…m-1),所以 d≥0.且d∈N
*. …(12分)
當(dāng)d=0時(shí),{e
m}為常數(shù)列,滿足條件,即為數(shù)列 e
m=m,
此時(shí)數(shù)列{c
n}是首項(xiàng)為m的任意一個(gè)排列,共有
個(gè)數(shù)列; …(14分)
當(dāng)d=1時(shí),符合條件的數(shù)列{e
m}只能是1,2,3…m,此時(shí)數(shù)列{c
n}是1,2,3…m,有1個(gè); …(15分)
當(dāng)d≥2時(shí),∵e
m=e
1+(m-1)d≥e
1+2(m-1)=e
1+m+m-2 又 m>3,∴m-2>0.
∴e
m>m 這與 e
m=m矛盾,所以此時(shí){e
m} 不存在. …(17分)
綜上滿足條件的數(shù)列{c
n}的個(gè)數(shù)為(m-1)!個(gè). …(18分)