Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且Sn=

1

2

an•an+1(n∈N*)，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足(2an-1)(2bn-1)=1，T_n為{b_n}的前n項和，求證：2T_n＞log₂（2a_n+1）n∈N．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)Sn=

1

2

an•an+1(n∈N*)及an=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

，可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的結(jié)果代入(2an-1)(2bn-1)=1，求得bn=log2

2n

2n-1

，利用對數(shù)的運算性質(zhì)求得T_n并代入2T_n-log₂（2a_n+1），利用比商法比較真數(shù)的大小即可證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）已知式即Sn=

1

2

anan+1，故an+1=Sn+1-Sn=

1

2

an+1an+2-

1

2

anan+1．
由條件知a_n+1≠0，所以a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
由于a1=S1=

1

2

a1a2，且a₁=1，故a₂=2．
于是a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，a_2m=2+2（m-1）=2m，
所以a_n=n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由(2an-1)(2bn-1)=1，得(2n-1)(2bn-1)=1，2bn=

2n

2n-1

，
故bn=log2

2n

2n-1

．
從而Tn=b1+b2++bn=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)．
2Tn=2log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2
因此2T_n-log₂（2a_n+1）=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2-log₂（2n+1）
=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2+log2

1

2n+1

=log2[(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2•

1

2n+1

]．
設(shè)f(n)=(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2•

1

2n+1

，
則f(n+1)=(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

•

2n+2

2n+1

)2•

1

2n+3

，
故

f(n+1)

f(n)

=

2n+1

2n+3

•(

2n+2

2n+1

)2=

(2n+2)2

(2n+3)(2n+1)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1，
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特別地f(n)≥f(1)=

4

3

＞1，
從而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以2T_n＞log₂（2a_n+1）．

點評：此題是個難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，及數(shù)列的求和問題，題目綜合性強，特別是問題（Ⅲ）的設(shè)置，數(shù)列與不等式恒成立問題結(jié)合起來，能有效考查學生的邏輯思維能力和靈活應用知識分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．