Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）如何由函數(shù)y=2sinx的圖象通過適當?shù)淖儞Q得到函數(shù)f（x）的圖象，寫出變換過程；
（3）若f（

α

4

）=

1

2

，求sin（

π

6

-α）的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）直接由函數(shù)圖象求得A和四分之一周期，再由周期公式求得ω，由五點作圖的第三點求φ；
（2）由先平移后改變周期和先改變周期后平移兩種方法給出答案；
（3）由f（

α

4

）=

1

2

求出sin(

α

2

+

π

6

)=

1

4

，然后把sin（

π

6

-α）轉化為余弦利用倍角公式得答案．

解答： 解：（1）由函數(shù)圖象可知，A=2，

T

4

=

5π

12

-

π

6

=

π

4

，T=π．
∴

2π

ω

=π，ω=2．
由五點作圖的第三點得2×

5π

12

+φ=π，得φ=

π

6

．
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)；
（2）法1：先將y=2sinx的圖象向左平移

π

6

個單位，再將所得圖象縱坐標不變，橫坐標壓縮為原來的

1

2

倍，所得圖象即為f(x)=2sin(2x+

π

6

)的圖象．
法2：先將y=2sinx的圖象縱坐標不變，橫坐標壓縮為原來的

1

2

倍，再將所得圖象向左平移

π

12

個單位，所得圖象即為f(x)=2sin(2x+

π

6

)的圖象；
（3）由f(

α

4

)=2sin(2•

α

4

+

π

6

)=2sin(

α

2

+

π

6

)=

1

2

，
得：sin(

α

2

+

π

6

)=

1

4

，
∴sin(

π

6

-α)=cos(α+

π

3

)=1-2sin2(

α

2

+

π

6

)=1-

1

8

=

7

8

．

點評：本題考查了y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了三角函數(shù)的圖象平移，訓練了三角函數(shù)的求值，是中檔題．