Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），m為正的常數(shù)．
（1）求函數(shù)g（x）的定義域；
（2）求g（x）的單調(diào)區(qū)間，并指明單調(diào)性；
（3）若a＞0，b＞0，證明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
要使g（x）有意義，則，
那么g（x）的定義域?yàn)閧x|a＜x＜m}．
（2）g（x）=f（x）+f（m-x）=xlnx+（m-x）ln（m-x）
則g'（x）=lnx+1-ln（m-x）-1
=ln
由g'（x）＞0，得，
解得：
由g'（x）＜0
得：
解得：
∴g（x）在上為增函數(shù)，
在上為減函數(shù)
（3）要證f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．
只須證f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2
而在（2）中，取m=a+b，
則g（x）=f（x）+f（a+b-x）
則g（x）在[，a+b）上為增函數(shù)，
在上為減函數(shù)．
∴g（x）的最小值為：
g（）=f（）+f（a+b-）=2f（）
=（a+b）ln
=（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2
那么g（a）≥g（）
得：f（a）+f（a+b-a）≥（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2=f（a+b）-（a+b）ln2
即：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）
分析：（1）根據(jù)f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），可直接求得g（x）的定義域．
（2）求g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x），然后分別對(duì)g'（x）＞0以及g'（x）＜0兩種情況進(jìn)行討論．繼而求得g（x）的單調(diào)區(qū)間
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，按照g（x）的單調(diào)性，證明f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2，整理即為結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．通過(guò)對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用，考查對(duì)知識(shí)的理解與認(rèn)知．屬于中檔題．