Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，其前n項和為S_n，S₂=8，S₄=32，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知得，

2a1+d=8 4a1+6d=32

，解方程可求a₁，d，進而可求a_n，再由a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁可求首項b₁，公比q，進而可求等比數(shù)列的通項公式b_n
（Ⅱ）由（I）可求cn=

an

bn

=

4n-2

2 4n-1

=(2n-1)•4n-1，結(jié)合數(shù)列的特點可考慮利用錯位相減求和

解答：解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，
由已知得，

2a1+d=8 4a1+6d=32

，
解得a₁=2，d=4
故{a_n}的通項公式為a_n=4n-2…（3分）
因而有，b₁qd=b₁，d=4，
∴q=

1

4

故bn=b1•qn-1=2×

1

4n-1

=

2

4n-1

．
即{b_n}的通項公式為bn=

2

4n-1

…（6分）
（Ⅱ）∵cn=

an

bn

=

4n-2

2 4n-1

=(2n-1)•4n-1
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1+3×4+5×4²+…+（2n-1）4^n-1，
4T_n=1×4+3×4²+5×4³+…+（2n-3）4^n-1+（2n-1）4ⁿ，…（8分）
兩式相減，得3T_n=-1-2（4+4²+4³+…+4^n-1）+（2n-1）4ⁿ
=

1

3

[(6n-5)4n+5]，
所以，Tn=

1

9

[(6n-5)4n+5]．    …（12分）

點評：本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的求解，數(shù)列求和的錯位相減的求和法，考查學生的運算能力．