Question

（本小題滿分14分）

設(shè)是函數(shù)的一個極值點．

（1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）當時，單增區(qū)間為：；單減區(qū)間為：、；

當時，單增區(qū)間為：；單減區(qū)間為：、；

（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意得：，可得，

有且；

得，

由于是函數(shù)的一個極值點得到，即

確定與的關(guān)系式討論（1）當時；（2）當時的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）知在上的值域為，在上的值域為

由于，必須且只須即可.

試題解析：（1）∵

∴

由題意得：，即，

∴且

令得，

∵是函數(shù)的一個極值點

∴，即

故與的關(guān)系式

當時，，由得單增區(qū)間為：；

由得單減區(qū)間為：、；

當時，，由得單增區(qū)間為：；

由得單減區(qū)間為：、；

（2）由（1）知：當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，

在上的值域為

易知，在上是增函數(shù)

在上的值域為

由于

又要存在存在，使得成立，

必須且只須，解得

所以，實數(shù)的取值范圍為.

考點：1.應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；2.函數(shù)的值域；3.轉(zhuǎn)化與化歸思想.