已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)(a>1),若函數(shù)y=g(x)的圖象上任意一點P關(guān)于原點的對稱點Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象.
(1)寫出函數(shù)g(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[0,1)時,總有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范圍.
【答案】分析:(1)由已知條件可知函數(shù)g(x)的圖象上的任意一點P(x,y)關(guān)于原點對稱的點Q(-x,-y)在函數(shù)f(x)圖象上,把Q(-x,-y)代入f(x),整理可得g(x)
(2)由(1)可令h(x)=f(x)+g(x),先判斷函數(shù)h(x)在[0,1)的單調(diào)性,
進(jìn)而求得函數(shù)的最小值h(x)min,使得m≤h(x)min
解答:解:(1)設(shè)點P(x,y)是g(x)的圖象上的任意一點,則Q(-x,-y)在函數(shù)f(x)的圖象上,
即-y=loga(-x+1),則

(2)f(x)+g(x)≥m  即,
也就是在[0,1)上恒成立.
設(shè),

由函數(shù)的單調(diào)性易知,h(x)在[0,1)上遞增,若使f(x)+g(x)≥m在[0,1)上恒成立,
只需h(x)min≥m在[0,1)上成立,即m≤0.
m的取值范圍是(-∞,0]
點評:本題(1)主要考查了函數(shù)的中心對稱問題:若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)關(guān)于點M(a,b)對稱,則y=f(x)上的任意一點(x,y)關(guān)于M(a,b)對稱的點(2a-x,2b-y)在函數(shù)y=g(x)的圖象上.
(2)主要考查了函數(shù)的恒成立問題,往往轉(zhuǎn)化為求最值問題:m≥h(x)恒成立,則m≥h(x)maxm≤h(x)恒成立,
則m≤h(x)min
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時,若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點,求k的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點;
(Ⅱ)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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