Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1）（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）≤0在定義域內(nèi)恒成立，求a的取值范圍．
（2）在（1）的條件下，若0＜m＜n，試證明：f（n）-f（m）≤（1-m）（lnn-lnm）．

Answer 1

分析 （1）f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即函數(shù)f（x）_max≤0，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，即可求出a的值，
（2）利用分析法，要證明原不等式成立，只要證明先對(duì)要證明的不等式當(dāng)變形，ln$\frac{n}{m}$-（$\frac{n}{m}$-1）≤0，根據(jù)（1）的f（x）的函數(shù)的結(jié)論即可證明

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-a（x-1），x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴又f（1）=0，
∴x＞1時(shí)，f（x）＞0，故a≤0不合題意，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a}$，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即0＜x＜$\frac{1}{a}$，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即x＞$\frac{1}{a}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-a（$\frac{1}{a}$-1）=-lna-1+a，
∵函數(shù)f（x）≤0在定義域內(nèi)恒成立，
∴-lna-1+a≤0，在a∈（0，+∞）上恒成立，
設(shè)g（a）=-lna-1+a，a∈（0，+∞），
∴g′（a）=-$\frac{1}{a}$+1=$\frac{a-1}{a}$，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g′（a）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)a＞1時(shí)，g′（a）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴g（a）_min=g（1）=0，
∴當(dāng)0＜a＜1，或a＞+∞時(shí)，g（a）＞0，故不滿(mǎn)足函數(shù)f（x）≤0在定義域內(nèi)恒成立
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）_max=-0-1+1=0滿(mǎn)足函數(shù)f（x）≤0在定義域內(nèi)恒成立，
綜上所述a=1，
（2）由（1）可知f（x）=lnx-（x-1），
∴要證明f（n）-f（m）≤（1-m）（lnn-lnm），
只要證明lnn-（n-1）-lnm+（m-1））≤（1-m）（lnn-lnm），
只要證m-n≤-m（lnn-lnm）
只要證1-$\frac{n}{m}$≤ln$\frac{n}{m}$，
只要證ln$\frac{n}{m}$-（$\frac{n}{m}$-1）≤0，
由（1）可知f（x）=lnx-（x-1）≤0恒成立，
∴l(xiāng)n$\frac{n}{m}$-（$\frac{n}{m}$-1）≤0，恒成立，
故0＜m＜n，f（n）-f（m）≤（1-m）（lnn-lnm）

點(diǎn)評(píng) 本題是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這里要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，解決恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)證明不等式，屬于中檔題．