Question

（本小題滿分13分）如圖是某直三棱柱(側棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖，俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，N是BC的中點，側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示.

（1）求該幾何體的體積；

（2）求證：AN∥平面CME；

（3）求證：平面BDE⊥平面BCD

 

Answer 1

【答案】

(1)4 ；(2)連接MN，則MN∥CD，且.又AE∥CD，且，

∴∥，=∴四邊形ANME為平行四邊形，∴AN∥EM.∵AN平面CME，EM平面CME，∴AN∥平面CME  (3)∵AC＝AB，N是BC的中點，∴AN⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD則(2)知：AN∥EM,∴EM⊥平面BCD，又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD 

【解析】

試題分析：(1)由題意可知：四棱錐B－ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，

AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，  …………2分

則四棱錐B－ACDE的體積為：，

即該幾何體的體積為4    …………4分

(2)證明：由題圖知，連接MN，則MN∥CD，

且.又AE∥CD，且，                    …………6分

∴∥，=∴四邊形ANME為平行四邊形，∴AN∥EM.

∵AN平面CME，EM平面CME，∴AN∥平面CME         ……………8分

(3)證明：∵AC＝AB，N是BC的中點，∴AN⊥BC,

又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD                      …………10分

則(2)知：AN∥EM,

∴EM⊥平面BCD，又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD       ……13分

考點：本題考查了空間中的線面關系

點評：高考中常考查空間中平行關系與垂直關系的證明以及幾何體體積的計算，這是高考的重點內容.證明的關鍵是熟練掌握并靈活運用相關的判定定理與性質定理.