Question

2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（a+b，sinA-sinC），且$\overrightarrow{n}$=（c，sinA-sinB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大�。�
（2）若a+c=8，求AC邊上中線長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （I）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得c（sinA-sinC）-（a+b）（sinA-sinB）=0，再利用正弦定理余弦定理即可得出．
（2）設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為E，由余弦定理得：（2BE）²=c²+a²-2cacos120°=（a+c）²-ac=64-ac，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）∵向量$\overrightarrow{m}$=（a+b，sinA-sinC），且$\overrightarrow{n}$=（c，sinA-sinB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴c（sinA-sinC）-（a+b）（sinA-sinB）=0，
由正弦定理可得：c（a-c）-（a+b）（a-b）=0，化為a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為E，由余弦定理得：（2BE）²=c²+a²-2cacos120°=（a+c）²-ac=64-ac≥64-$（\frac{a+c}{2}）^{2}$=48，當(dāng)a=c時(shí)取到”=”．
∴$BE≥2\sqrt{3}$．
∴AC邊上中線長(zhǎng)的最小值為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．