【題目】如圖，橢圓的長軸長為，點、、為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，過中心，且，．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個動點（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系，并求證直線的斜率為定值.

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題（1）利用題中條件先得出的值，然后利用條件，結(jié)合橢圓的對稱性得到點的坐標，然后將點的坐標代入橢圓方程求出的值，從而確定橢圓的方程；（2）將條件

得到直線與的斜率直線的關(guān)系（互為相反數(shù)），然后設(shè)直線的方程為，將此直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標，注意到直線與的斜率之間的關(guān)系得到點的坐標，最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.

（1），，

又是等腰三角形，所以，

把點代入橢圓方程，求得，

所以橢圓方程為；

（2）由題易得直線、斜率均存在，

又，所以，

設(shè)直線代入橢圓方程，

化簡得，

其一解為，另一解為，

可求，

用代入得，，

為定值.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上，且的周長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過點的直線與橢圓交于兩點，點在直線上，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有極值，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近期，某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用表示活動推出的天數(shù)，表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示：

表一

1

2

3

4

5

6

7

6

11

21

34

66

101

196

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如下圖所示的散點圖.

（1）根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內(nèi)，與（，均為大于零的常數(shù)）哪一個適宜作為掃碼支付的人次關(guān)于活動推出天數(shù)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）；

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；

（3）推廣期結(jié)束后，車隊對乘客的支付方式進行統(tǒng)計，結(jié)果如表2

表2

支付方式

現(xiàn)金

乘車卡

掃碼

比例

10%

60%

30%

已知該線路公交車票價為2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客，享受7折優(yōu)惠的概率為，享受8折優(yōu)惠的概率為，享受9折優(yōu)惠的概率為．根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，估計一名乘客一次乘車的平均費用.

參考數(shù)據(jù)：

62.14

1.54

2535

50.12

3.47

其中，

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，……，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近期，某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付，某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），繪制了如圖所示的散點圖：

（I）根據(jù)散點圖判斷在推廣期內(nèi)，與（c，d為為大于零的常數(shù)）哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（Ⅱ）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果求y關(guān)于x的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次.

參考數(shù)據(jù)：

4

62

1.54

2535

50.12

140

3.47

其中，

附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校為了了解全校學生“體能達標”的情況，從全校1000名學生中隨機選出40名學生，參加“體能達標”預測，并且規(guī)定“體能達標”預測成績小于60分的為“不合格”，否則為“合格”若該校“不合格”的人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的，則全校“體能達標”為“合格”；否則該校“體能達標”為“不合格”，需要重新對全校學生加強訓練現(xiàn)將這40名學生隨機分為甲、乙兩個組，其中甲組有24名學生，乙組有16名學生經(jīng)過預測后，兩組各自將預測成績統(tǒng)計分析如下：甲組的平均成績?yōu)?/span>70，標準差為4；乙組的平均成績?yōu)?/span>80，標準差為6（題中所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)）.

（1）求這40名學生測試成績的平均分和標準差；

（2）假設(shè)該校學生的“體能達標”預測服從正態(tài)分布用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值.利用估計值估計：該校學生“體能達標”預測是否“合格”？

附：①個數(shù)的平均數(shù)，方差；

②若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】空氣質(zhì)量AQI指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況指數(shù)，AQI指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其對應(yīng)關(guān)系如表：

AQI指數(shù)值

空氣質(zhì)量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

如圖所示的是某市11月1日至20日AQI指數(shù)變化的折線圖：

下列說法不正確的是（ ）

A.這天中空氣質(zhì)量為輕度污染的天數(shù)占

B.這天中空氣質(zhì)量為優(yōu)和良的天數(shù)為天

C.這天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略低于

D.總體來說，該市11月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，，，與都是等邊三角形，且點在底面上的射影為.

（1）證明：為的中點；

（2）求異面直線與所成角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）當時，不等式恒成立，求m的取值范圍；

（2）求證：當時，.

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