Question

已知拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F且不平行于x軸的動直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)直線MF交該拋物線于C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1（k≠0由

x2=4y y=kx+1

消去y，得x²-4kx-4=0由x²=4y，得y=

1

4

x2，所以y′=

1

2

x，
分別求得直線AM的方程，BM的方程聯(lián)立求解；
（Ⅱ）先由（I）得直線MF方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，又因?yàn)閗_MF•k_AB=-1，所以AB⊥CD，分別求得|AB|，|CD|的長度，由面積公式求解．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得F（0，1），顯然直線AB的斜率存在且不為0，
則可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2=4y y=kx+1

消去y，得x²-4kx-4=0，顯然△=16k²+16＞0．
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．（2分）
由x²=4y，得y=

1

4

x2，所以y′=

1

2

x，
所以，直線AM的斜率為kAM=

1

2

x1，
所以，直線AM的方程為y-y1=

1

2

x1(x-x1)，又x₁²=4y₁，
所以，直線AM的方程為x₁x=2（y+y₁）①．（4分）
同理，直線BM的方程為x₂x=2（y+y₂）②．（5分）
②-①并據(jù)x₁≠x₂得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=

x1+x2

2

，
即A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．（7分）

（Ⅱ）由①②易得y=-1，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2k，-1）（k≠0）．
所以kMF=

2

-2k

=-

1

k

，
則直線MF的方程為y=-

1

k

x+1，（8分）
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由

x2=4y y=- 1 k x+1

消去y，得x2+

4

k

x-4=0，顯然△=

16

k2

+16＞0，
所以x3+x4=-

4

k

，x₃x₄=-4．（9分）
又|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4(k2+1)．（10分）
|CD|=

(x3-x4)2+(y3-y4)2

=

(1+ 1 k2 )(x3-x4)2

=

(1+ 1 k2 )[(x3+x4)2-4x3x4]

=4(

1

k2

+1)．（11分）
因?yàn)閗_MF•k_AB=-1，所以AB⊥CD，
所以，SACBD=

1

2

|AB|•|CD|=8(

1

k2

+1)(k2+1)=8(k2+

1

k2

+2)≥32，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時，四邊形ACBD面積的取到最小值32．（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，滲透著導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、平面幾何的知識，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力．