【題目】橢圓的離心率是,過點的動直線與橢圓相交于兩點,當直線軸平行時直線被橢圓截得的線段長為.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)在軸上是否存在異于點的定點,使得直線變化時,總有?若存在求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在定點滿足題意.

【解析】試題分析:(1由橢圓的離心率是,直線被橢圓截得的線段長為列方程組求出,從而可得橢圓的標準方程;(2設直線方程為,由, 根據(jù)韋達定理及斜率公式可得,,可得符合題意.

試題解析(1)∵,∴,

橢圓方程化為: ,由題意知,橢圓過點,

,解得,

所以橢圓的方程為: ;

(2)當直線斜率存在時,設直線方程: ,

,

,

假設存在定點符合題意,∵,∴,

,

∵上式對任意實數(shù)恒等于零,∴,即,∴,

當直線斜率不存在時, 兩點分別為橢圓的上下頂點,

顯然此時,綜上,存在定點滿足題意.

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