Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c經(jīng)過點（0，0），導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+1，當(dāng)x∈[n，n+1]（n∈N^*）時，f（x）是整數(shù)的個數(shù)記為a_n．
（1）求a、b、c的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）令b_n=，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)f（0）=0求得c，進而對函數(shù)f（x）的解析式求導(dǎo)，進而求得b和a．
（2）先根據(jù)題意可知a_n=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1進而求得 a_n+1兩式相減可推斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，進而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得答案．
（3）把（2）中求得的a_n代入b_n，進而利用裂項法求和．
解答：解：（1）∵f（0）=c=0
∴c=0，
f′（x）=2ax+b=2x+1
∴a=1，b=1
（2）依題意可知a_n=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1=2（n+1）+1，a_n+1=（n+2）（n+3）-（n+1）（n+2）+1=2（n+2）+1，
∴a（n+1）-an=2，a₁=5
∴數(shù)列{a_n}是以5為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=5+（n-1）×2=2n+3
（3）b_n==-，{bn}的前n項和 S_n=-+-+…+--=--=
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和用裂項法數(shù)列求和．高考中數(shù)列題往往與不等式、函數(shù)等知識綜合考查，所以平時應(yīng)加強這方面的復(fù)習(xí)．