Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-a）e^x．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在R上不是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=-1時，討論函數(shù)g（x）=f'（x）-4xe^x-x（x＞1）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，可得f'（x）=（x²+2x-a）e^x，由題意知方程x²+2x-a=0有兩個不同的實數(shù)解，由此可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）確定函數(shù)的單調性，利用零點存在定理，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=（x²+2x-a）e^x，由題意知方程x²+2x-a=0有兩個不同的實數(shù)解，所以△=4+4a＞0，解得a＞-1．
因此，實數(shù)a的取值范圍是a＞-

1

2

．--------（6分）
（Ⅱ）g（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），g'（x）=e^x（x²-1）-1．--------（7分）
設h（x）=e^x（x²-1）-1（x＞1），h'（x）=e^x（x²+2x-1），
因為x＞1，所以h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，---------（9分）
又h（1）=-1＜0，h（2）=3e²-1＞0，
因此在（1，2）內(nèi)存在唯一的實數(shù)x₀，使得h（x₀）=0，--------------（11分）
因為h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，所以在（1，+∞）內(nèi)存在唯一的實數(shù)x₀，使得h（x₀）=0．
h（x）與h'（x）隨x的變化情況如下表：

x	（1，x0）	x0	（x0，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

由上表可知，g（x₀）=g（1）=-1＜0，又g（2）=e²-2＞0，
故g（x）的大致圖象右圖所示：
所以函數(shù)g（x）在（1，+∞）內(nèi)只有一個零點．--------（15分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的零點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．