Question

橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，一條直線l經(jīng)過點F₁與橢圓交于A，B兩點．
（1）求△ABF₂的周長；
（2）若l的傾斜角為

π

4

，求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義，得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，又AF₁+BF₁=AB，所以，△ABF₂的周長=AB+AF₂+BF₂=4a．再由a²=4，能導(dǎo)出△ABF₂的周長．
（2）由F₁（-1，0），AB的傾斜角為

π

4

，知直線AB的方程為y=x+1．由

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

消去x，得7y²-6y-9=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），借助韋達(dá)定理能夠求出△ABF₂的面積．

解答：解：（1）由橢圓的定義，
得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，
又AF₁+BF₁=AB，
所以，△ABF₂的周長=AB+AF₂+BF₂=4a．
又因為a²=4，
所以a=2，
故△ABF₂的周長為8．（6分）
（2）由條件，得F₁（-1，0），
因為AB的傾斜角為

π

4

，所以AB斜率為1，
故直線AB的方程為y=x+1．（8分）
由

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，
消去x，得7y²-6y-9=0，（10分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解得y1+y2=

6

7

，y1•y2=-

9

7

．
所以S△ABF2=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

1

2

×2×

(y1+y2)2-4y1y2

=

12 2

7

（14分）

點評：本題考查三角形周長的求法和三角形面積的計算，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，注意橢圓定義、韋達(dá)定理在解題中的合理運(yùn)用．