Question

（2013•荊門(mén)模擬）已知函數(shù)f(x)=a(2cos2

x

2

+sinx)+b
（1）若a=-1，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（1）將a=-1代入，利用正弦函數(shù)的遞增區(qū)間即可確定出f（x）的遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)x的范圍求出這個(gè)角的范圍，確定出正弦函數(shù)的值域，根據(jù)f（x）的值域，分a小于0與大于0兩種情況考慮，分別列出關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值．

解答：解：f（x）=a（1+cosx+sinx）+b=

2

asin（x+

π

4

）+a+b，
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，由2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3

2

π，得2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5

4

π，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ+

π

4

，2kπ+

5

4

π]（k∈Z）；
（2）∵0≤x≤π，∴

π

4

≤x+

π

4

≤

5

4

π，
∴-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，依題意知a≠0，
分兩種情況考慮：
1°當(dāng)a＞0時(shí)，

2 a+a+b=8 b=5

，
∴a=3（

2

-1），b=5；
2°當(dāng)a＜0時(shí)，

b=8 2 a+a+b=5

，
∴a=-3（

2

-1），b=8，
綜上所述：a=3

2

-3，b=5或a=3-3

2

，b=8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．