Question

已知F是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的右焦點(diǎn)，過F的弦AB滿足

AF

=3

FB

，則弦AB的中點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為（　�。�

• A．6
• B．

  3

  2

• C．3
• D．

  19

  2

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)直線AB方程為y=k（x-4），與橢圓消去y得關(guān)于x的一元二次方程．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得x₁+x₂=

200k2

9+25k2

，x₁x₂=

400k2-225

9+25k2

…①，再由

AF

=3

FB

，算出x₁+3x₂=16…②，聯(lián)解得到x₁+x₂=

13

2

，得弦AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

13

4

，再算出橢圓右準(zhǔn)線方程為x=

25

4

，即可得出AB的中點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離．

解答：解：∵橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的右焦點(diǎn)為F（4，0）
∴設(shè)直線AB方程為y=k（x-4），
與橢圓消去y，得（9+25k²）x²-200k²x+400k²-225=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
可得x₁+x₂=

200k2

9+25k2

，x₁x₂=

400k2-225

9+25k2

…①
∵

AF

=3

FB

∴4-x₁=3（x₂-4），可得x₁+3x₂=16…②
聯(lián)解①②，可得k=±

5

4

，x₁+x₂=

13

2

∴弦AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

13

4

∵右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

=

25

4

，∴AB的中點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為

25

4

-

13

4

=3，
故選：C

點(diǎn)評：本題給出橢圓的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成1：3的兩段，求弦的中點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系等知識，屬于中檔題．