Question

已知向量

a

=(2cos2x，sinxcosx)，

b

=(a，b)，f(x)=

a

•

b

-  

3

2

，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對(duì)稱，且f(0)=

3

2

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換能使所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再由f(0)=

3

2

以及f(0)=f(

π

6

)，進(jìn)一步確定函數(shù)的解析式為sin(2x+

π

3

)，由此求出最小正周期以及單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）把函數(shù)f（x）的解析式利用誘導(dǎo)公式化為cos2(x-

π

12

)，

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

- 

3

2

=2acos2x+bsinxcosx-

3

2

=a(cos2x+1)+b

sin2x

2

-

3

2

=acos2x+

b

2

sin2x+a-

3

2

，
∵f(0)=

3

2

，∴a+a-

3

2

=

3

2

，a=

3

2

．
又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對(duì)稱，故有f(0)=f(

π

6

)，即

3

2

=

3

2

cos

π

3

+

b

2

sin

π

3

，b=1．
∴f(x)=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)，故周期T=π．
當(dāng)f（x）單調(diào)遞增時(shí)，-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ ， (k∈Z)，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)．
（Ⅱ）f(x)=sin(2x+

π

3

)=cos[

π

2

-(2x+

π

3

)]=cos2(x-

π

12

)，
∴f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位，可得偶函數(shù)y=cos2x 的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期性，屬于中檔題．