Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在x，y軸上運(yùn)動，且|MN|=4，動點(diǎn)P滿足

MP

=

1

3

PN

．
（I）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（II）過點(diǎn)（0，2）的直線l與C交于不同兩點(diǎn)A，B．
①求直線l斜率k的取值范圍．②若OA⊥OB，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)M（a，0），N（0，b），P（x，y），由條件

MP

=

1

3

PN

將a和b用x和y表達(dá)，代入|MN|=4即可．
（II）①設(shè)出直線l的方程，與軌跡C的方程聯(lián)立、消元、△＞0解不等式即可
②設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0，由維達(dá)定理表示出x₁x₂和y₁y₂代入求解即可．

解答：解：（I）設(shè)M（a，0），N（0，b），P（x，y），由條件

MP

=

1

3

PN

得（x-a，y）=

1

3

（-x，b-y），即

a= 4 3 x b=4y

因?yàn)閨MN|=4，所以a²+b²=16，即

x2

9

+y2=1
（II）設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立、消元得：（1+9k²）x²+36kx+27=0  （1）
①直線l與C交于不同兩點(diǎn)A，B則△＞0，解得k＜-

3

3

或k＞

3

3

②設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0  （2），
由（1）可得x₁x₂=

27

1+9k2

，x₁+x₂=-

36k

1+9k2

所以y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

4-9k2

1+9k2

代入（2）得k2=

31

9

，k=±

31

3

所以直線l的方程為：y=±

31

3

x+2

點(diǎn)評：本題考查相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程、直線和橢圓位置關(guān)系的判斷、維達(dá)定理的應(yīng)用等知識，考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力．