Question

20．據統(tǒng)計，截至2016年底全國微信注冊用戶數量已經突破9.27億，為調查大學生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數量，現從某市大學生中隨機抽取100位同學進行了抽樣調查，結果如下：

微信群數量（個）	頻數	頻率
0～4		0.15
5～8	40	0.4
9～12	25
13～16	a	c
16以上	5	b
合計	100	1

（Ⅰ）求a，b，c的值及樣本中微信群個數超過12的概率；
（Ⅱ）若從這100位同學中隨機抽取2人，求這2人中恰有1人微信群個數超過12的概率；
（Ⅲ）以（1）中的頻率作為概率，若從全市大學生中隨機抽取3人，記X表示抽到的是微信群個數超過12的人數，求X的分布列和數學期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在0至4這一段，對應的頻數為15，由此能求出a，b，c的值及樣本中微信群個數超過12的概率．
（Ⅱ）記“2人中恰有1人微信群個數超過12”為事件A，利用等可能事件概率計算公式能求出2人中恰有1人微信群個數超過12的概率．
（Ⅲ）由題意知微信群個數超過12的概率為P=$\frac{1}{5}$，X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）在0至4這一段，對應的頻數為15，
由已知得：15+40+25+a+5=100，
解得a=15，
∴b=$\frac{5}{100}$=0.05，c=$\frac{15}{100}=0.15$，c=$\frac{15}{100}$=0.15，
樣本中微信群個數超過12的概率p=$\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$．
（Ⅱ）記“2人中恰有1人微信群個數超過12”為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{20}^{1}{C}_{40}^{1}}{{C}_{200}^{2}}$=$\frac{32}{99}$，
∴2人中恰有1人微信群個數超過12的概率為$\frac{32}{99}$．
（Ⅲ）由題意知微信群個數超過12的概率為P=$\frac{1}{5}$，
X的所有可能取值為0，1，2，3，
則P（X=0）=${C}_{3}^{0}（1-\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{5}）（1-\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{48}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（1-\frac{1}{5}）$=$\frac{12}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

E（X）=$0×\frac{64}{125}+1×\frac{48}{125}+2×\frac{12}{125}+3×\frac{1}{125}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查數形結合思想、轉化化歸思想，是中檔題．