Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項，數列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求數列{a_n}，{b_n}的通項a_n和b_n；
（3）設c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）∵a_n是S_n與2的等差中項
∴S_n=2a_n-2∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2
a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4
（2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
又S_n-S_n-1=a_n，n≥2
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴=2（n≥2），即數列{a_n}是等比數列，∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ
∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即數列{b_n}是等差數列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，
（3）∵c_n=（2n-1）2ⁿ
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³++（2n-1）2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³++（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹
因此：-T_n=1×2+（2×2²+2×2³++2×2ⁿ）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
即：-T_n=1×2+（2³+2⁴++2ⁿ⁺¹）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6
分析：（1）先利用a_n是S_n與2的等差中項把1代入即可求a₁，再把2代入即可求a₂的值；
（2）利用S_n=2a_n-2，可得S_n-1=2a_n-1-2，兩式作差即可求數列{a_n}的相鄰兩項之間的關系，找到規(guī)律即可求出通項；對于數列{b_n}，直接利用點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，代入得數列{b_n}是等差數列即可求通項；
（3）先把所求結論代入求出數列{c_n}的通項，再利用數列求和的錯位相減法即可求出其各項的和．
點評：本題考查了數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．考查計算能力．