（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

定義變換：可把平面直角坐標(biāo)系上的點變換到這一平面上的點.特別地，若曲線上一點經(jīng)變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點.

（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 并求出當(dāng)時，其兩個焦點、經(jīng)變換公式變換后得到的點和的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時，求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標(biāo)；

（3）試探究：中心為坐標(biāo)原點、對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線在變換

：（，）下的不動點的存在情況和個數(shù).

 

【答案】

（1）（2）（3）兩個

【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①.

又由條件得…②，故由①、②可解得，.

即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

且橢圓兩個焦點的坐標(biāo)分別為和.

對于變換：，當(dāng)時，可得

設(shè)和分別是由和的坐標(biāo)由變換公式變換得到.于是，，即的坐標(biāo)為；

又即的坐標(biāo)為.

（2）設(shè)是橢圓在變換下的不動點，則當(dāng)時，[來源:Z§xx§k.Com]

有，由點，即，得：

，因而橢圓的不動點共有兩個，分別為和.

(3) 設(shè)是雙曲線在變換下的不動點，則由

因為，，故.

不妨設(shè)雙曲線方程為（），由代入得

則有,

因為，故當(dāng)時，方程無解；

當(dāng)時，要使不動點存在，則需，

因為，故當(dāng)時，雙曲線在變換下一定有2個不動點，否則不存在不動點.

進(jìn)一步分類可知：

（i）當(dāng)，時，即雙曲線的焦點在軸上時，

；

此時雙曲線在變換下一定有2個不動點；

（ii）當(dāng)，時，即雙曲線的焦點在軸上時，

.[來源:]

此時雙曲線在變換下一定有2個不動點.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

現(xiàn)有變換公式：可把平面直角坐標(biāo)系上的一點變換到這一平面上的一點.

（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出其兩個焦點、經(jīng)變換公式變換后得到的點和的坐標(biāo)；

（2） 若曲線上一點經(jīng)變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點. 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標(biāo)；

（3） 在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點、對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動點的存在情況和個數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海市嘉定、黃浦區(qū)2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)文 題型：解答題

(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分8分，第3小題滿分7分．
已知拋物線（且為常數(shù)），為其焦點．
（1）寫出焦點的坐標(biāo)；
（2）過點的直線與拋物線相交于兩點，且，求直線的斜率；
（3）若線段是過拋物線焦點的兩條動弦，且滿足，如圖所示．求四邊形面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省濟(jì)寧市高三第二次月考文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分18分）已知拋物線C的頂點在原點,焦點在y軸正半軸上,點到其準(zhǔn)線的距離等于5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點,試證明為定值;

（Ⅲ）過A、B分別作拋物C的切線且交于點M,求與面積之和的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年上海市高三模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

(本題滿分18分，其中第1小題4分，第2小題6分，第,3小題8分)

一青蛙從點開始依次水平向右和豎直向上跳動，其落點坐標(biāo)依次是，(如圖所示，坐標(biāo)以已知條件為準(zhǔn))，表示青蛙從點到點所經(jīng)過的路程。

(1) 若點為拋物線準(zhǔn)線上

一點，點，均在該拋物線上，并且直線經(jīng)

過該拋物線的焦點，證明.

(2)若點要么落在所表示的曲線上，

要么落在所表示的曲線上，并且,

試寫出（不需證明）；

(3)若點要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且，求的表達(dá)式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海市普陀區(qū)2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)文 題型：解答題

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

現(xiàn)有變換公式：可把平面直角坐標(biāo)系上的一點變換到這一平面上的一點.

（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出其兩個焦點、經(jīng)變換公式變換后得到的點和的坐標(biāo)；

（2） 若曲線上一點經(jīng)變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點. 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標(biāo)；

（3） 在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點、對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動點的存在情況和個數(shù).

 

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