Question

已知△ABC的面積為2，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，•=4．
（1）求角A；
（2）求的最大值．

Answer 1

解：（1）∵△ABC的面積為2，•=4，
∴bcsinA=2①，bccosA=4②，
①÷②得：tanA=，
又A為三角形的內(nèi)角，
則A=；
（2）法1：∵A=，∴B+C=，即C=-B，
∴根據(jù)正弦定理得：===[sinB+sin（-B）]
=（cosB+sinB）=sin（B+），
∵0＜B＜，∴＜B+＜，
∴當(dāng)B+=，即B=時(shí)，sin（B+）取得最大值1，
則的最大值是1；
法2：∵cosA=，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3（）²=（b+c）²，
整理得：（）²≤1，即≤1，
則當(dāng)b=c時(shí)，最大值是1．
分析：（1）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將已知的面積代入得到一個(gè)關(guān)系式，記作①，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡•=4，得到另一個(gè)關(guān)系式，記作②，①÷②，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切，求出tanA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）法1：由A的度數(shù)，求出B+C的度數(shù)，用B表示出C，利用正弦定理化簡所求的式子，將sinA的值代入，并將表示出的C代入，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出正弦函數(shù)的最大值，即為所求式子的最大值；
法2：由A的度數(shù)得出cosA的值，利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，將cosA的值代入并利用完全平方公式變形，再利用基本不等式化簡，變形后求出所求式子的范圍，即可得到所求式子的最大值．
點(diǎn)評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，三角函數(shù)的恒等變形，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．