若M，N是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是橢圓C上任意一點(diǎn)．若直線PM、PN斜率存在，則它們斜率之積為（　�。�
分析：設(shè)P（x0，y0），M（x1，y1），N（-x1，-y1）．代入橢圓方程得到
y
2
0
=b2(1-
x
2
0
a2
)，
y
2
1
=b2(1-
x
2
1
a2
)．再利用斜率計(jì)算公式可得kPM•kPN=
y1-y0
x1-x0
•
-y1-y0
-x1-x0
=
y
2
1
-
y
2
0
x
2
1
-
x
2
0
即可得出．
解答：解：設(shè)P（x0，y0），M（x1，y1），N（-x1，-y1）．
則
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1，
x
2
1
a2
+
y
2
1
b2
=1，
得到
y
2
0
=b2(1-
x
2
0
a2
)，
y
2
1
=b2(1-
x
2
1
a2
)．
∴
y
2
1
-
y
2
0
=b2(
x
2
0
a2
-
x
2
1
a2
)．
∴kPM•kPN=
y1-y0
x1-x0
•
-y1-y0
-x1-x0
=
y
2
1
-
y
2
0
x
2
1
-
x
2
0
=
b2
a2
(
x
2
0
-
x
2
1
)
x
2
1
-
x
2
0
=-
b2
a2
．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、斜率計(jì)算公式，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，若橢圓C上的一點(diǎn)A（1，
3
2
）到F1，F(xiàn)2的距離之和為4．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P，求證：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，Q是橢圓C上不同于M，N的任意一點(diǎn)，若直線QM，QN的斜率分別為KQM•KQN．問：“點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”是KQM•KQN=-
3
4
的什么條件？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•泉州模擬）已知橢圓C的方程為：
x2
a2
+
y2
2
=1 (a＞0)，其焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
2
2
．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）滿足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M，N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，求證：x02+2
y
2
0
為定值．
（3）在（2）的條件下，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個(gè)頂點(diǎn)．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若
OP
=m
OA
+n
OB
，求證：動(dòng)點(diǎn)Q（m，n）在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年江蘇省蘇北四市高考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個(gè)頂點(diǎn)．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若，求證：動(dòng)點(diǎn)Q（m，n）在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年江蘇省徐州市高三第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷Ⅰ（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個(gè)頂點(diǎn)．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若，求證：動(dòng)點(diǎn)Q（m，n）在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說(shuō)明理由．

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