若M，N是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上關于原點對稱的兩個點，P是橢圓C上任意一點．若直線PM、PN斜率存在，則它們斜率之積為（　�。�
分析：設P（x0，y0），M（x1，y1），N（-x1，-y1）．代入橢圓方程得到
y
2
0
=b2(1-
x
2
0
a2
)，
y
2
1
=b2(1-
x
2
1
a2
)．再利用斜率計算公式可得kPM•kPN=
y1-y0
x1-x0
•
-y1-y0
-x1-x0
=
y
2
1
-
y
2
0
x
2
1
-
x
2
0
即可得出．
解答：解：設P（x0，y0），M（x1，y1），N（-x1，-y1）．
則
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1，
x
2
1
a2
+
y
2
1
b2
=1，
得到
y
2
0
=b2(1-
x
2
0
a2
)，
y
2
1
=b2(1-
x
2
1
a2
)．
∴
y
2
1
-
y
2
0
=b2(
x
2
0
a2
-
x
2
1
a2
)．
∴kPM•kPN=
y1-y0
x1-x0
•
-y1-y0
-x1-x0
=
y
2
1
-
y
2
0
x
2
1
-
x
2
0
=
b2
a2
(
x
2
0
-
x
2
1
)
x
2
1
-
x
2
0
=-
b2
a2
．
故選D．
點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、點與橢圓的位置關系、斜率計算公式，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點，若橢圓C上的一點A（1，
3
2
）到F1，F(xiàn)2的距離之和為4．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，線段MN的垂直平分線與x軸交于點P，求證：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，Q是橢圓C上不同于M，N的任意一點，若直線QM，QN的斜率分別為KQM•KQN．問：“點M，N關于原點對稱”是KQM•KQN=-
3
4
的什么條件？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•泉州模擬）已知橢圓C的方程為：
x2
a2
+
y2
2
=1 (a＞0)，其焦點在x軸上，離心率e=
2
2
．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設動點P（x0，y0）滿足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M，N是橢圓C上的點，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，求證：x02+2
y
2
0
為定值．
（3）在（2）的條件下，問：是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設P是橢圓C上任意一點，若
OP
=m
OA
+n
OB
，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年江蘇省蘇北四市高考數(shù)學二模試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設P是橢圓C上任意一點，若，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江蘇省徐州市高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學試卷Ⅰ（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設P是橢圓C上任意一點，若，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

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