Question

已知側(cè)棱垂直于底面的三棱柱CDE-C₁D₁E₁的頂點(diǎn)都在同一球面上，在△CDE中，∠DCE=60°，CD=5，CE=4，該球的體積為，則三棱錐C₁-CDE的體積為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)球的體積求出半徑R，再由余弦定理和△CDE中的數(shù)據(jù)求出DE，由正弦定理求出△CDE的外接圓的半徑r，再由勾股定理求出CC₁，代入柱體的體積公式求解．
解答：解：設(shè)△CDE的外接圓的半徑為r，球的半徑為R，
∵球的體積為，
∴=，解得R=4，
∵在△CDE中，∠DCE=60°，CD=5，CE=4，
∴DE²=CE²+CD²-2CE×CD×cos∠DCE
=16+25-2×4×5×cos60°=21，
則DE=，
由正弦定理得，2r===2，解得r=，
∴CC₁==6，
則三棱錐C₁-CDE的體積V=
=
=，
故選B．
點(diǎn)評：本題考查球的體積、棱柱的體積，余弦（正弦）定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力，屬于中檔題．