Question

已知函數(shù)f(x)=

-x3+ax2+bx，(x＜1) c(ex-1-1)，(x≥1)

在x=0，x=

2

3

處取到極值
（Ⅰ）當c=e時，方程

f(x)

x

=k恰有三個實根，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點A，B使得

OA

•

OB

=0（O為坐標原點），且線段AB的中點在y軸上，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當x＜1時，先對函數(shù)f（x）進行求導，由題意知x=0，x=

2

3

是方程f'（x）=0的兩實根，由韋達定理可求出a，b的值．將方程轉化為函數(shù)y=k與y=f（x），將方程根的問題轉化為函數(shù)圖象交點問題解決．
（II）根據(jù)分段函數(shù)，分類討論，利用

OA

•

OB

=0，結合函數(shù)思想即可求實數(shù)c的取值范圍．

解答：解：（I）當x＜1時，f′（x）=-3x²+2ax+b．
由極值點的必要條件可知x=0，x=

2

3

是方程f′（x）=0的兩根，
則0+

2

3

=

2a

3

，0×

2

3

=-

b

3

，解得a=1，b=0．
∴當c=e時，f(x)=

-x2+x (x＜1) e x (ex-1-1)(x≥1)

…4分．
當x≥1時，f′（x）=

e

x2

＞0，此時函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)，如圖，又當x=

1

2

時，f（x）取得極大值

1

4

，
由圖象知當k∈（0，

1

4

）時，函數(shù)y=k與y=f（x）有3個不同的交點，
即方程有3個實根．
故實數(shù)k的取值范圍為（0，

1

4

）…8分．
（II）由（I）知，f（x）=

-x2+x (x＜1) c(ex-1-1)(x≥1)

，
根據(jù)條件得A，B的橫坐標互為相反數(shù)，不妨設A（-t，-t³+t²），B（t，f（t）），（t＞0）．
若t＜1，則f（t）=-t³+t²，
由

OA

•

OB

=0，即-t²+（-t³+t²）（-t³+t²）=0，
即-1+（-t+1）²=0．此時t=0或2，不合，舍去；
若t≥1，則f（t）=c（e^t-1-1）．
由于AB的中點在y軸上，且∠AOB是直角，所以B點不可能在x軸上，即t≠1．
同理由

OA

•

OB

=0，即-t²+（-t³+t²）•c（e^t-1-1）=0，
∴c=

1

(et-1-1)(-t+1)

…12分．
由于函數(shù)g（t）=

1

(et-1-1)(t+1)

（t＞1）的值域是（-∞，0），
∴實數(shù)c的取值范圍是（-∞，0）…14分．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調性、極值點與其導函數(shù)之間的關系，以及研究方程根的個數(shù)問題，此類問題首選的方法是圖象法即構造函數(shù)利用函數(shù)圖象解題，其次是直接求出所有的根．